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第2章 电磁场有限元分析简介
电磁场的边值问题实际上是求解给定边界条件下的麦克斯韦（Maxwell）方程组及由方程组深化出的其他偏微分方程问题。从求解问题的技术手段上来说，它可以分为解析求解和数值求解两大类。对于简单模型，有时可以得到方程的解析解。若模型复杂度增加，则往往很难获得模型的解析解。随着计算工具，特别是高速大容量电子计算机的发展，电磁场数值分析已深入到工业生产各个领域，解决问题的面越来越广，分析的问题也日趋复杂。电磁场数值分析是一门综合性的学科，涉及电磁场理论、数值分析、计算方法、计算机基础知识及高级语言等多个方面，但在计算上存在着共性。有限元法是一种常用的数值方法，并有相应的电磁软件问世，其中ANSOFT公司的Maxwell 3D/2D就是非常优秀的电磁分析软件。
本章将对电磁场的基本理论、电磁场有限元的求解及ANSOFT公司的Maxwell 3D/2D作简单的介绍。至于完整的电磁理论描述，读者可以参考许多教科书。如果读者已熟悉电磁理论，完全可以略过本章，直接从第2章开始学习如何使用Maxwell电磁软件。
1.1电磁场基本理论
1.1.1麦克斯韦方程组
在19世纪中叶，麦克斯韦在总结前人工作的基础上，提出了适用于所有宏观电磁现象的数学模型，称之为麦克期韦方程组。它是电磁场理论的基础，也是工程电磁场数值分析的出发点。
麦克斯韦方程组包括微分和积分两种形式，在此仅给出它们的微分形式，通过它们可以导出能用有限元处理电磁问题的微分方程。
麦克斯韦方程组为
法拉第电磁感应定律

麦克斯韦-安培定律

高斯电通定律

高斯磁通定律

电荷守恒定律

式中，E为电场强度，V/m；D为电通量密度，C/m；H为磁场强度，A/m；B为磁通量密度，T；J为电流密度，A/㎡；P为电荷密度C/m3。
上面5个方程中包含两个旋度方程式（1.1）、式（1.2）和3个散度方程式（1.3）、式（1.4）和式（1.5）。

1.1.2麦克斯韦方程组各方程之间的关系
上面提到的麦克斯韦方程组的5个方程中，只有3个方程是独立的，另外两个相关方程可以从独立方程中导出。其中两个旋度方程肯定是独立方程，另外一个独立方程可以在散度方程式（1.3）和式（1.5）中任选一个，方程式（1.4）只能作为相关方程。读者可以参考表1.1。
表1.1 麦克斯韦方程组中的独立方程与相关方程
独 立 方 程
相 关 方 程
1 2 3
(1.1) (1.2) (1.3)
(1.1) (1.2) (1.5)
1 2
(1.4) (1.5)
(1.4) (1.3)

1、方程式（1.1）与式（1.4）的关系
对方程式（1.1）两边取散度，有

根据矢量恒等式，可知式（1.6）左端恒等于零

设在场域内B关于时间和场点二阶混合偏导数连续，则式（1.7）可以化为

即

C是与时间无关的常数。同理，也是与时间无关的常数，只要在初始时刻t=0取C=0，则在t＞0以后的任意时刻恒有

由此，可以看出方程式（1.1）与式（1.4）是相关的，由方程式（1.1）可以推导出式（1.4）。
2、方程式（1.2）、式（1.3）与式（1.5）之间的关系
对方程式（1.2）两边取散度，有

显然，如果仅仅利用方程式（1.2）不能同时导出方程式（1.3）和式（1.5）。这时，要私将方程式（1.3）设为独立方程，联合方程式（1.11）推导出方程式（1.5）；要么将方程式（1.5）设定为独立方程，联合方程式（1.11）推导出方程式（1.3）。
1）方程式（1.11）与式（1.3）联合推导式（1.5）
将方程式（1.3）代入式（1.11）有

2）方程式（1.11）与式（1.5）联合推导式（1.3）
将方程式（1.5）代入式（1.11）有

即

这里，C为与时间无关的常数，那么只要在初始时刻t=0取C=0，则在t＞0以后的任意时刻恒有

1.1.3 本构关系
场量E、D、B、H之间的关系，由媒质的特性决定，对于线性介质，本构关系为
D=
B=
J=
式中，ε为介质的介电常数，F/m；μ为介质的磁导率，H/m；σ为介质的电导率，S/m。
还需要说明的是，对于各向同性介质，ε、μ和σ是标量；对于各向导性介质，它们是张量。
如果希望得到电磁场问题的惟一解，除了上述方程外，还需要配备定解条件；对于瞬变场，需要配备边界条件和初始条件；对于静态场、稳态场、时谐场，只需配备边界条件。
1.1.4 二阶电磁场微分方程
在实际有限元计算中，通常并不针对麦克斯韦方程组中的一阶方程，常常先将方程化为二阶方程，然后针对二阶方程进行有限元数值求解。实际上，比较方便的做法是根据场的基本性质，引入辅助的计算量，如标量电势ϕ、矢量磁位A等。
Maxwell常用的求解方程有
二维、三维静电场求解器所满足的泊松方程

二维稳恒电场求解器所满足的拉普拉斯方程

二维交变电场求解器所满足的复数拉普拉斯方程

二维静磁场求解器所满足的非齐次标量波动方程

二维涡流场求解器所满足的波动方程组

二维轴向磁场涡流求解器所满足的齐次波动方程

三维静磁场和涡流求解器所满足的齐次波动方程组

1．1．5电磁场求解的边界条件
电磁场问题求解中，有各种各样的边界条件，结合Maxwell 3D／2D，归结起来可概括为6类。
1、自然边界条件
自然边界条件是软件系统的默认边界条件，不需要用户指定，是不同媒质交界面场量的切向和法向边界条件。
2．诺伊曼边界条件
电磁场教科书中常常称诺伊曼边界条件为第二类边界条件，它规定了边界处势的法向导数分布。Maxwell所提到的是齐次诺伊曼边界，即法向导数为零。它是Maxwell系统默认边界条件，不需要用户指定。
3．狄利克莱边界条件
电磁场教科书中常常称狄利克莱边界条件为第一类边界条件，有限元计算领域，常常称其为约束边界条件，或本质边界条件。它规定了边界处势的分布，势是边界位置的函数，也可以是常数和零。
4．对称边界条件
对称边界条件包括奇对称和偶对称两大类。奇对称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，符号相反。偶对称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，符号相同。采用对称边界条件可以减小模型的尺寸，有效地节省计算资源。
5．匹配边界条件
匹配边界条件是模拟周期性结构的对称面，使主边界和从边界场量具有相同的幅度(对于时谐量还有相位)，相同或相反的方向。
6．气球边界条件
气球边界条件是Maxwell 2D求解器常见的边界条件，常常指定在求解区的外边界处,用于模拟绝缘系统等。
除此之外，有一些求解器中还有各自“特色”的边界条件．如交变电场中的电阻边界、涡流场中的阻抗边界，主要用来模拟很薄的介质层。
1．2电磁场求解的有限元方法
所谓的有限元法，就是将整个区域分割成许多很小的子区域，这些子区域通常称为“单元”或“有限元”，将求解边界问题的原理应用于这些子区域中，求解每个小区域，通过选取恰当的尝试函数，使得对每一个单元的计算变得非常简单，经过对每个单元进行重复而简单的计算，再将其结果总和起来，便可以得到用整体矩阵表达的整个区域的解，这一整体矩阵又常常是稀疏矩阵，可以更进一步简化和加快求解过程。由于计算机非常适合重复性的计算和处理过程，因此整体矩阵的形成过程很容易使用计算机处理来实现。下面就以一个简单的例子说明有限元法的基本原理。
1．2．1一维有限元法
1．【例11】问题的描述
考虑一个两极板电容器的静电场分布问题。极板间充有密度为的自由电荷，即自由电荷密度恰好等于介质的介电常数。前面已经介绍静电场所满足方程式(1.19)。考虑到极板间只有一种介质，可以导出本例中静电场满足的方程为

假定极板都接在0.5V电源端，极板的间距为2，如图1.1所示。
由于电容器的激励和几何形状都关于Y轴对称，只要求解整个区域的一半即可，而另外一半可由对称关系得出。从边界条件上看，这种对称结构导致电力线垂直穿过Y轴，使电势在该对称轴上沿x方向的变化率为零，即对称面可以用齐次诺伊曼条件表示，为简化起见，这里没有考虑实际的物理单位。
受到狄里克莱和齐次诺伊曼边界条件的约束，即

假定电容器极板的尺寸远远大于极板间的距离t那么电容器的电势分布问题简化为一维边值问题。
2．有限元求解
用有限元求解问题的第一步就是划分单元。一般说来．单元数越多，则近似解的精度就越高，当然计算量也就越大，越费时。所以单元数应该足够多，以保证精度。对于例【1.1】所考虑的问题，整个区域(0，1)被分割成4个单元，记为单元el、单元e2、单元e3和单元e4。这些单元大小可以相同，也可以不同。在实际问题中，根据场分布的疏密程度，有限元可以具有不同的尺寸，这样便于处理复杂的几何结构和激励源。
分割后的区域由4个单元和5个点组成，这些点称为“节点”，对应于这5个点的电势记为ϕ1、ϕ2、ϕ3、ϕ4、ϕ5，每一个单元都由相邻的两个节点所限定，如图1．2所示。

对于一维空间来说，一个单元只是一个线段。对二维空间来说，有限元可以有各种形状，如三角形、矩形等。
作为一种数值计算方法，有限元并非用来寻求问题的解析解。实际上许多工程问题目前都无法找到解析解。有限元的作用就在于求解分布场的势函数在每个节点上的近似值，而势函数在单元其他位置的值，可以用插值方法获得。如果采用线性插值方法表示势函数，则称为一阶有限元。如果采用高阶插值表示势函数，则称为高阶有限元。本节只介绍一阶有限元。
在图1．3中，将任意单元记为“e”，对应于这一有限元有两个节点：和，这两个节点上的电势分别记为和，显然它们为待定的未知量，称为自由度。对于一阶有限元，由于采用线性插值，如果将单元上的电势分布用图形表示，实际上就成为一条连接两个节点电势值的线段。这一分布函数记为ϕe，一旦节点上的电势被求出，在单元上的其他各点的电势值即可由线性关系得到。

显然，求解电势分布的关键是找到节点上的电势值。采用加权余数法(伽辽金法)或变分法(里兹法)可以得到以下代数方程组

式中，为尝试函数；为各待定系数。
可以令待定系数Ci为各节点上的电势值ϕi，这样一旦解出各待定系数，也就获得了节点上的电势值，也就是说，求解待定系数和求解节点电势成为一个统一的计算过程t这是有限元法的巧妙处之一。
另外，还需要设法使方程的近似解满足边界处的狄里克莱条件。实际上，采用有限元法，满足这一边界条件并不困难，只要令狄里克莱边界上的节点电势为给定的值即可，同时也要求尝试函数在这些节点上的值为1。如此一来，狄里克莱边界上的电势不再是未知数，而是由狄里克莱边界所确定的己知量。这样不但满足了边界条件，而且减少了未知数的个数。这是有限元法的巧妙处之二。
考察式(1.29)可以发现；每一个积分都是对整个区域Ω进行的，因此需要利用分步积分法求解该积分。如果区域比较复杂，则这些积分的计算会非常烦琐。有限元法巧妙地利用数学推演，可以使该积分局部化，即积分只对每一个单元进行，而最后的结果则综合每个单元上的积分而得到。为达到这一目的，需要适当地选取尝试函数。事实上，尝试函数代表了单元近似解的一种插值关系，它决定了近似解在单元上的形状。因此尝试函数在有限元法中称为形函数。
对于一阶有限元来说，形函数为一个直线段；对于高阶有限元来说，形函数为一个曲线段；对于二维一阶有限元来说，形函数为一个平面；对于二维高阶有限元来说，形函数为一曲面；对于三维有限元来说，形函数为多维平面或曲面。对于一维有限元来说，形函数分段线性，对应于任意一个节点i 的形函数，如图1．4所示。

该形函数在节点i上的值为1，并在与节点i相邻的两个单元上线性减小，直到在相邻节点i-1和i+1上分别减小为零。选择这样的形函数可以使式(1.29)积分局部化，从而大大简化了计算过程，也便于用计算机进行重复处理。这是有限元法的巧妙处之三。
如图1.5所示，任意单元“e”上电势的分布为

将式(1.30)代入式(1.29)，即可获得有限元方程

这里，[K]为5×5阶系数矩阵；[f]为5×l阶激励矩阵；而[ϕ]为5×l阶节点电势矩阵。
矩阵中各元素为

系数矩阵中的任意一个元素的计算可以通过对每一个单元进行计算，然后将各单元的积分结果相加得到，即单元“e”对应的区域为，单元的局部系数矩阵对应的元素为，局部激励矩阵对应的元素为。由于本例中共划分了4个单元，因此有

对于任意单元来说，局部的积分计算常常通过采用局部坐标而得到简化。节点i和i+1构成的单元“e”，设单元长度为。若采用局部坐标系，则新的坐标可以由原始坐标变换而来

式中，t为新的局部坐标的变量。在单元e上，对于节点i和i+1的形函数和都是单元上的直线段，为

则单元系数矩阵和单元激励矩阵分别为

式中，各元素为

将式（1.41）—式（1.45）代入式（1.39）和式（1.40）可以得到

以上求出的局部矩阵知合于整体区域中的任何一个单元。只要单元的长度已知，就可以根据上面两式求解局部系数矩阵和局部激励矩阵。代入数据到式（1.46）和式（1.47），有

整体矩阵可由局部矩阵组合而成。具体的说，[]应该放置于[K]中的第i行、第j列与第i+1行、第j+1列之间，应该放置在[f]中的第i行、第j+1行。对于本例，有以下有限元方程

以上矩阵为对称稀疏矩阵，很多元素为零，易于计算机求解。考虑到边界处的狄里克莱边界，可知，则可以消去以上矩阵第五行，将直代入其余各行，并移到右侧与激励矩阵合并，则可整理出对应于4个节点的有限元方程

求解以上矩阵方程，可以得到4个节点上的电势值为[]=[1,0.98,0.92,0.68,0.5]。
3、解析解
实际上，对于上述一维电场问题，微分方程可以用积分的方法来求得精确的解析解。
方程（1.26）在一维情况下，可以写为

显然，方程解可以设为

将式（1.27）和式（1.28）代入式（1.55），可以解出b=0，c=1
则方程的解为

对应上面4个节点上的电势值为[]=[1,0.98,0.92,0.68,0.5]T
对比有限元计算结果和解析解在节点上的结果，可以发现，二者在节点上的电势值是一致的。其结果对比如图1.6所示。可以看出，对于非节点上的电势值，有限元法采用线性插值的方法，近似解呈分段线性，与解析解之间存在误差。如果选取更多的单元计算．则得到的近似解会有更高的精度。

图1．6有限元计算和解析解
该问题比较简单，因而根本没有必要采用有限元求解。本节引入这个简单的例子只是借此说明有限元法的基本原理，便于初学者理解，读者通过一维有限元的学习，可以轻而易举地将这些概念和原理应用到二维和三维有限元中。
1．2．2电磁场解后处理
对于大部分工程问题来说，仅仅求出电势、磁势分布是不够的，还要得到其他物理参数或工程参数，如电磁力、转矩、电感、电容、电磁场能量、损耗等。通常把从势函数到具体物理量的计算过程称为有限元的解后处理。
由此可见，解后处理方法直接决定有限元的最后结果，因此十分重要。在解后处理过程中，所研究的对象已经不再是势函数本身，而是各种具体的实际问题，因此该过程包含的技术领域很宽，所需要的知识也很专。
这里需要指明的是，许多有限元软件并不解势函数，而是直接求解场量本身。例如，Maxwell 3D磁场模块就是采用棱单元(Edge Element)求解磁场强度。因此，解后处理更为精确的定义是：从电磁方程的数值解(标量电势、矢量磁势、磁场强度或电场强度)获得其他物理量的过程。
工程技术人员已经对各种物理量的解后处理方法做了很多研究工作，提出了各种现实可行的方法。为了使读者增强概念性的理解，本节以静电场二维有限元方法为例，简要地给出由标量势函数求解静电储能和电容的后处理过程，关于其他物理量的导出在后面各章节均有介绍。
1．静电储能
静电储能We可以写成

式中，N为单元个数；为二维区域；为某个单元子区域。
2．电容计算
电容有两种定义方式：从电荷量的角度出发；从能量的角度出发。
1)电荷法计算电容
如果计算一对导体之间的电容，则令这对导体间的电势差为某一常数励源为零。采用有限元法计算出标量电势分布后，利用高斯电通定理计算电荷量

则电容为

式中，s为包围该导体的闭合曲面；n为闭合曲面的法向；l为导体。
2)能量法计算电容
由电场能量可以将电容定义为

即电容为

上面介绍了两种求解电容的方法，需要指出的是，用有限元法求得的储能比电势本身有更高一阶的精度，因此，采用能量法计算的电容，在许多情况下比电荷法要精确。