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空间角的几何求法
一、 异面直线所成角（线线角） 范围：
先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。
【典例分析】
例1. 已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F为CD的中点.
（1）求证：AF⊥平面CDE； （2）求异面直线AC，BE所成角余弦值；

【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 。

二、直线与平面所成角（线面角） 范围：
【典例分析】
例1.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，
A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

【变式】如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA，
（1）证明：AC//平面PMD；
（2）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；

例2. 如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，
M为PC的中点。
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

Ｖ
A
Ｃ
Ｄ
Ｂ
【变式】如图，在三棱锥中，，，是的中点，
且，．
（1）求证：平面平面；
（2）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．

三、平面与平面所成角（面面角） 范围：
（1）定义法：当点A在二面角α-l-β的棱l上时，可过A分别在α、β内作棱l的
垂线，AB、AC，由定义可知∠BAC即为二面角α-l-β的平面角。
（2）三垂线法：当点A在二面角α-l-β的一个面α内时，可作AO⊥β于O，
再作OB⊥l于B，连结AB，由三垂线定理可得AB⊥l，
故∠ABO 即为二面角α-l-β的平面角。
（3）垂面法：当点A在二面角α-l-β内时，可作AB⊥α于B，AC⊥β于C，
设1过AB、AC的平面与l交于点O，连结OB、OC，可证平面，
ABOC是l的垂面，则l⊥OB，l⊥OC，∠BOC即为二面角α-l-β的平面角。
（4）射影面积法：
【典例分析】
例1. 如图，平面，，若，求二面角的正弦值

例2. 把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．
（1）求证：面ABP⊥面ABC； （2）求二面角C-BP-A的余弦值．

例3. 在正三棱柱中，，截面侧面．
(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成二面角(锐角)的度数．

【变式】
1. E是正方形ABCD的AB边中点，将△ADE与△BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么
二面角D—PE—C的大小为 .

2.在正四面体中，求相邻两个平面所成的二面角的余弦值

3.已知：二面角且到平面的距离为，到的距离为， 求二面角的大小

例3. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。
（1）求证：平面； （2）求到平面的距离；
（3）求二面角的大小。

2,4,6

【变式】如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.
（1）求证：A1C//平面AB1D；
（2）求二面角B—AB1—D的大小；
（3）求点C到平面AB1D的距离.

【巩固练习】
1. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则[K]
A． θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
2. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．

3. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

4.如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形.
（1）证明：CD⊥平面PBD；
（2）求二面角C-PB-D的平面角的余弦值.

5. 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.

6. 如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，
AB=BC=，AC==2．
（1）求证：AC⊥平面BEF ;（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；

7.如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.

(1) 求证：； (2) 若，求锐二面角的大小.

8.如图，在四棱锥中，平面平面；，，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.

9.如图，四棱锥中，地面，，，，
为线段上一点，，为的中点．
（1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.

10. 如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，
且平面垂直于底面．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的大小．

11. 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
(1)求与底面所成角的大小；
(2)求证：平面；
(3)求二面角的余弦值.

12. 如图,在三棱台中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证：EF⊥平面ACFD； (2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

13. 如图，在三棱锥中，，，
为的中点．（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，
求与平面所成角的正弦值．

14. 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

15. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， 直线平面PCD？

16.如图，在长方体中，点在线段上.

（1）求异面直线与所成的角；
（2）若二面角的大小为，求点到平面的距离.

17. 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为a，P为A1B上的点。
（1）试确定的值，使得PC⊥AB；
（2）若，求二面角P—AB—C的大小；　　　　　
（3）在（2）条件下，求C1到平面PAC的距离。　　

2,4,6