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一般化方法解题的基本策略

08数学教育 华玲

摘要：在解决数学问题时，一般来说，特殊情况往往更易被人们接受，便于人们去认识。然而我们也会遇到一些比较复杂的特殊问题，它并不能将一般性的特性反映出来，这时我们就需要将原问题的范围扩大，找出一个能揭示原问题基本特性的一般问题，进而解决原特殊问题，这种一般化方法解题策略往往会带来意想不到的效果。本文总结了一般化方法的含义和解题模式，通过具体实例阐述了在解题过程中如何运用一般化方法。
关键词：一般化方法 解题 策略

数学的实际教学过程中，我们往往会遇到一般和特殊两种情况，一般化和特殊化便是我们解决问题的两种重要方法，在多数情况下，特殊问题简单、直观，易于人们认识、接受。但也有一些情况下，特殊问题比较复杂，给解题带来了困难，这个时候我们不妨直接先去求解相应的一般性问题，进而再去解决原先的特殊问题，我们把这种解题的策略叫做一般化方法解题策略。在教学中有意识地对学生进行一般化方法思想的培养，不仅可以激发学生对学习数学的兴趣，还能提高学生的创新思维能力。本文总结了一般化方法的含义和解题模式，通过具体实例阐述了在解题过程中如何运用一般化方法。
1 一般化方法含义及解题模式
一般化方法就是从个别到普遍的认识方法，所谓一般化方法就是把要解决的问题放到一般情形中去思考，在对一般情形思考的过程中总结出对特殊问题进行研究思考的方法，当我们遇到一些特殊问题按照问题的要求去研究解决有困难时，可以考虑适当放宽条件或者改变一些条件的限制，使问题原本的要求得以放宽，将需要处理的问题放在一个更为一般的情形中去考虑，在这样一个一般情形的基础上进行探索研究，先将这样的一般情形问题解决好，然后将在这样的一般情形下处理问题的思想方法转用到原先需要研究解决的特殊情形中，最后就能得出了原问题的解，这就是解题的一般化方法。一般化的探索方向有两种，一种是放宽或取消某项约束条件，还有一种就是将结论中的数量形式或关系普遍化，很多时候，一般情形要比特殊情形更能反映问题的本质规律，因为在一般情形中，条件有了适当的放宽，一些条件的限制也得到了改变，这时问题所涉及的条件范围也变大了，使得我们在解决问题的过程中能更好地把这些条件联系在一起，从而更易得出结论，问题更易解决。因此对很多数学问题我们都可以采用这种构造一般情形对原问题进行分析，再转用于特殊情形的方法。
一般来说用一般化方法解决问题我们通常需进行如下步：
(1)要从原问题的不同方面进行分析，找出能使问题一般化的有关因素，构造出一个一般化情形下的问题；
（2）对构造好的一般情形下的问题进行分析解决；
（3）返回原问题，原问题得解。
以上的步骤我们通常可表示成如下的模式图：
构造

原问题 一般性问题

退回

原问题的解 一般性问题的结论
其中在一般化方法解题的步骤中，依据原问题构造一个恰当的一般问题是最为关键的一步。
2 一般化方法在解题中的应用
例1 计算
分析：在这样一道计算题中，由于数字比较大，如果我们还是按照算术的运算性质来一步一步直接计算运算量是比较大的，尤其是不允许运用计算器的情况下，这个时候我们可以先暂时放下具体的数字，先来构造它的一般情形，将具体的数字用字母来代替。
我们可以将它构造成如下的一般问题：计算.
因为

=
=
=
=,
当n=2008时，由上述一般化问题的结果可得，原式=4030055.
简评： 这一题得探索方向是将结论中的数量形式或关系普遍化，在解题目时，有时用这些特殊的数字区计算已经很麻烦，却还要将它升级为一般的字母来代替求解，这时我们便会发现其实在用字母代替的一般情形下，我们更容易发现解题的规律，再从这个一般情形转移到特殊情形中问题就很容易解决。
例2 证明：+++…+＞ .
分析：将上述命题一般化，即证明 +++…+＞ (n＞1)。这是有关自然数的命题，可考虑用数学归纳法证明。
证明 当n=2时，1+=×＞，命题成立。
假设当n=k(k≥2, k∈N+)时，命题成立，即
+++…+＞。
当n=k+1时
+++…++＞+=×＞.
即，当n=k+1时命题也成立，
由数学归纳法可知一般化命题成。
取n=1000时，有上述一般化问题的结果可得，原不等式成立。
简评：在解决这道题目时，解具体问题时由于分母带有根号而且不等式的左边要从顺次一直加到，这样解决起来就比较困难，所以我们转而去探索问题的一般情形，这不仅促成了原问题的解决，而且大大提高了探索发现及解决问题的能力。
例3 平面上随意给出20000个点，试问:能否用一条直线将它们隔开，使得直线的两
侧各有10000个点？
分析:为了便于思考，不妨先考察下面的一般问题：平面上随意给出2n个点，试问能
否用一条直线将它们隔开，使得直线的两侧各有n个点？
求解这个一般问题的关键在于找到这样一条直线L，它在平面上平移的过程中至多一
个已知点在直线上，这是可以办到的，只要取直线L不平行于2n个点中任意两点的连线即
可。
取一条直线L使这2n个点都在L的同侧，并使L不平行于2n个点中任意两点的连线，
于是，这2n个点P、P到P、P再到P到L的距离各不相同，设这些距离依次排列
为d<d<d<d<d
将L向已知点一侧平移，则在移动过程中至多有一个已知点在直线上，当L越过第n
个点而尚未到达第n+1个点即到L的位置，即L与L的距离d满足d<d<d时，直线L的两侧就各有n个点；
而原问题即为n=10000时的特殊情形，自然可以做到。
简评：上述例子表明，对于已知数据偏大的特殊问题，恰当的考虑一般问题，有助于
揭示事物的本质，获取问题的解法。
例4 已知A、B是抛物线y2=2x上异于点P（2，2）的两个动点，若，则
直线AB必过哪一定点？
分析：将本题一般化就成了研究：若抛物线y2=2px(p>0)的内接直角三角形PAB的直角顶点为定点P（x0,y0），则其斜边AB所在的直线恒过定点。
如图，设A（x1,y1）, B(x2,y2) ，则y12=2px1 ，y22=2px2 ，
因为
KAB= ， ，
所以AB中点为（）,
AB方程为.
即
…………①
由AP⊥BP可得
，
.
代入①得，AB方程为，
因此直线AB恒过定点（x0+2p,-y0），
以上这种思路将（y1+y2）作为一个整体，较为简捷，令x0=2,y0=2,p=1,易得本题中直线AB必过定点（4，-2）。
简评：这一题得探索方向是将结论中的数量形式或关系普遍化当遇到某些不能
容易给出解决方法的问题时，转化为一般问题，一般问题解决了，原问题自然获解。
例5 设P是大于3的素数，m=p-1，求证：m能被24整除。
分析：证明这个命题的困难在于：我们一时不知如何利用“p是大于3的素数”这个条件，一个比较自然的想法是：若能写出大于3的素数p的一般表达式，也许有助于问题的解决，然而，寻求这样的表达式是不可能的，这时我们就把条件放宽一些，即把问题一般化，改求大于3的奇数p的一般表达式：
p=3+2n （nN） （1）
其中N=N{0}.
当n=3k(kN)，由（1）表达的数p不是素数，故不妨设n=3k+1或n=3k+2 (kN).代入（1）得
p=6k+5 （kN） （2）
或
p=6k+7 （kN） （3）
虽然，由（2）或（3）表达的数p并不都是素数，但所有大于3的素数都包含在这些数p中，将(2)和（3）分别代入m的表达式，可得
m=12(3k+2)(k+1) （kN） （4）
或
m=12(3k+4)(k+1) （kN） （5）
显然，不论k是奇数还是偶数，（3k+2）(k+1)与(3k+4)(k+1)总是偶数，故知由（4）或（5）表达的数m总能被24整除，因此，p为大于3的素数时，m能被24整除。
简评：这是一道证明题，如果按题目原本的要求进行证明就显得比较困难，这时我们就适当放宽条件，选择运用一般化方法来进行解决，问题就迎刃而解。
用一般化方法解题，无论是将结论中的数量形式或关系普遍化，还是放宽或取消其中的某项约束条件，都能使我们的解题变得简单方便。
3 应用一般化方法的启示
新课程下，在教学中不仅要靠教师的教，更要使学生学会如何去学，教师要引导学生
巧妙运用数学思想方法解决问题，巧妙地运用数学思想解题能够大大地提高学生分析、解决问题的能力，在问题解决中能够将复杂问题简单化，给解题带来很多方便，同时学生的创新思维能力也得到了进一步的提高。
通过以上例题的求解我们知道一般化方法实际上就是设法构造一个与原问题形式一致且易于解决的一般性问题，即寻找处理问题的一般特例，在一般情形的处理下探索解决原问题的方案，但在构造一般性问题时，需要注意进行观察分析原问题的形式包括原问题的性质特征，并将它们归纳整理成形式一般且具有一定规律的一般性问题，只有这样考虑到原问题各方面的性质特征后才能构造出一个对解决原问题有引路作用的一般问题。
一般化方法是一种重要的解题策略，它是数学问题探索的一个常用方法，在一般化解题
的过程中，不仅深化了学生对数学问题的认识，使学生能够举一反三，还能够培养学生对问题观察、分析、比较和发现的数学能力，培养学生的创新精神。因此，在数学教学中，教师要积极引导学生，有意识地对学生进行一般化方法思想的培养，这样既培养了学生的创新思维能力，增强了对问题本质的认识，又激发了学生学习数学的兴趣。

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