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响应曲面法

目录
响应曲面法概述 2
简介 2
方法说明 3
适用范围 3
响应曲面分析常用方法 3
一、中心复合试验设计 3
二、Box-Behnken试验设计 6
分析响应曲面设计的一般步骤 7
模型拟合 7
模型诊断 7
模型分析解释 8

响应曲面法概述
简介
随着计算机技术的飞速发展，数值计算科学的不断深入，工程计算的模型越来越复杂，算规模越来越大,所花费的机时越来越长。同时，许多工程问题的目标函数和约束函数对于设计变量经常是不光滑的或者具有强烈的非线性。这样,科学家和工程师都希望寻找新的高效可靠的数学规划方法以满足工程优化计算的需要。一个渐进近似的优化方法能很好地解决这种既耗机时又非光滑的优化问题，它就是响应面法(Response Surface Methodology ，简称：RSM)。 
      RSM是数学方法和统计方法结合的产物，是用来对所感兴趣的响应受多个变量影响的问题进行建模和分析的,其最终目的是优化该响应值。由于RSM把仿真过程看成一个黑匣子，能够较为简便地与随机仿真和确定性仿真问题结合起来，所以得到了非常广泛的应用。近十多年来，由于统计学在各个领域中的发展和应用，RSM的应用领域进一步拓宽，对RSM感兴趣的科学工作者也越来越多，许多学者对响应面法进行了研究。RSM的应用领域不再仅仅局限于化学工业,在生物学、医学以及生物制药领域都得到了广泛应用。同时，食品学、工程学、生态学等方面也都涉及到了响应面法的应用。
方法说明
  响应曲面设计方法（Response Surface Methodology，RSM）是利用合理的试验设计方法并通过实验得到一定数据，采用多元二次回归方程来拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对回归方程的分析来寻求最优工艺参数，解决多变量问题的一种统计方法。
适用范围
       1、确信或怀疑因素对指标存在非线性影响； 
       2、因素个数2-7个，一般不超过4个； 
       3、所有因素均为计量值数据； 
       4、试验区域已接近最优区域； 
       5、基于2水平的全因子正交试验。
响应曲面分析常用方法
一、中心复合试验设计
       中心复合设计（central composite design, CCD）是在2水平全因子和分部试验设计的基础上发展出来的一种试验设计方法，它是2水平全因子和分部试验设计的拓展。通过对2水平试验增加一个设计点（相当于增加了一个水平），从而可以对评价指标（输出变量）和因素间的非线性关系进行评估。它常用于在需要对因素的非线性影响进行测试的试验。 
 基本概念：立方点、轴向点、中心点、区组、序贯试验、旋转性
1、立方点（cube point），也称立方体点、角点，即2水平对应的“-1”和“+1”点。各点坐标皆为+1或-1。在k个因素的情况下，共有2k个立方点。
2、轴向点（axial point），又称始点、星号点，分布在轴向上。除一个坐标为+α或-α外，其余坐标皆为0。在k个因素的情况下，共有2k个轴向点。
3、中心点（center point），亦即设计中心，表示在图上，坐标皆为0。
4、区组（block）， 也叫块。设计包含正交模块，正交模块可以允许独立评估模型中的各项及模块影响，并使误差最小化。 但由于把区组也作为一个因素来安排，增加了分析的复杂程度。
5、序贯试验（顺序试验）：先后分几段完成试验，前次试验设计的点上做过的试验结果，在后续的试验设计中继续有用。
6、旋转性（rotatable）设计有在设计中心等距点上预测方差恒定的性质，这改善了预测精度。
       α的选取：在α的选取上可以有多种出发点，旋转性是个很有意义的考虑。在k个因素的情况下，应取 
α = 2 k/4 ；当k=2， α =1.414；当k=3， α =1.682；当k=4， α =2.000；当k=5， α =2.378 。按上述公式选定的α值来安排中心复合试验设计(CCD)是最典型的情形，它可以实现试验的序贯性，这种CCD设计特称中心复合序贯设计(central composite circumscribed design,CCC)，它是CCD中最常用的一种。

特点： 
1、可以进行因素数在2—6个范围内的试验。 
2、试验次数一般为14—90次：2因素12次，3因素20次，4因素30次，5因素54次，6因素90次。 
3、可以评估因素的非线性影响。 
4、适用于所有试验因素均为计量值数末尾的试验。 
5、在使用时，一般按三个步骤进行试验。 
    1）先进行2水平全因子或分部试验设计。 
    2）再加上中心点进行非线性测试。 
    3）如果发现非线性影响为显著影响，则加上轴向点进行补充试验以得到非线性预测方程。 
6、中心复合试验也可一次进行完毕，（在确信有非线性影响的情况下）。
二、Box-Behnken试验设计
       Box-Behnken试验设计是可以评价指标和因素间的非线性关系的一种试验设计方法。和中心复合设计不同的是它不需要连续进行多次试验，并且在因素数相同的情况下，Box-Behnken试验组合数比中心复合设计少因而更经济。Box-Behnken试验设计常用于在需要对因素的非线性影响进行研究时的试验。
特点：
1、 在因素相同时，比中心复合设计的试验次数少； 
2、没有将所有试验因素同时安排为高水平的试验组合，对某些有安全要求或特别需求的试验尤为适用； 
3、具有近似旋转性，没有序贯性。
分析响应曲面设计的一般步骤

模型拟合
1. 根据所选择的实验方法进行模型拟合
2. 检查模型总体拟合情况(R2和R2adj）
3. 检查模型是否显著（ANOVA）
4. 检查模型中的每一项是否显著（F检验或t检验）
5. 检查模型是否存在拟合不良（Lack of Fit 拟合不良检验）
6. 删除模型中的非显著项
模型诊断
1. 计算拟合模型的残差和预测值
2. 残差正态性检验
3. 异方差检验
4. 响应独立性检验
模型分析解释
1. 等高线图
2. 曲面图