空间几何体的表面积和体积练习题集.doc

一、 知识回顾
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积 = 侧面积 + ______________；
(2）圆柱：r为底面半径，l为母线长
侧面积为_______________;表面积为_______________.
圆锥:r为底面半径，l为母线长
侧面积为_______________；表面积为_______________.
圆台：r’、r分别为上、下底面半径，l为母线长
侧面积为_______________;表面积为_______________.
（3）柱体体积公式:________________________；（S为底面积，h为高）
锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）
台体体积公式：________________________;
4
8
3
A
D
C
B
（S’、S分别为上、下底面面积，h为高)
二、 例题讲解
题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底
边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面
积是______________；体积是______________。
图（1)
左视图
俯视图
主视图
2

题2：若一个正三棱柱的三视图如图（2）所示，
求这个正三棱柱的表面积与体积
图（2）
题3：如图（3)所示,在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
E
A
B
D
C
F

图（3）
1、若圆柱的侧面积展开图是长为6cm，宽为4cm的矩形,则该圆柱的体积为
C
B
A
D
C1
B1
E
A1
D1

2、如图(4），在正方体中，
棱长为2，E为的中点，则
三棱锥的体积是____________.
图（4）
3、已知某几何体的俯视图是如图（5)所示的矩形，正
视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三
角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4
的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S。
图（5）
（选做题）4、如图(6)，一个圆锥的底面半径为2cm，
高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱。
（1)试用x表示圆柱的侧面积；
(2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
一、选择题（每小题5分,共计60分。请把选择答案填在答题卡上。）
1．以三棱锥各面重心为顶点,得到一个新三棱锥,它的表面积是原三棱锥表面积的
A. B。 C。 D。
2．正六棱锥底面边长为a，体积为，则侧棱与底面所成的角等于
A. B。 C. D。
3．有棱长为6的正四面体S—ABC，分别在棱SA,SB，SC上，且S=2，S=3，S=4，则截面将此正四面体分成的两部分体积之比为
A. B。 C。 D.
4。长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是
A．. B。 C. 5 D。6
5。圆锥的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为,则角的取值范围是
A． B C D
6。 正四棱台的上、下底面边长分别是方程的两根，其侧面积等于两底面积的和,则其斜高与高分别为
A．与2 B.2与 C.5与4 D。2与3
7.已知正四面体A-BCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体E-FGH的表面积为T，则等于 A． B. C。 D.
8。 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=2，则P到这三个平面的距离分别是
A．1，2,3 B．2，4，6 C．1，4，6 D．3，6，9
9.把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是
A． B。 C。 D。
9。 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB,EF=2，则该多面体的体积为
A. B。 C。 D.
10．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别交于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是，则必有
A。S1<S2 B。 S1>S2 C. S1=S2 D.的大小关系不能确定
11.三角形ABC中,AB=，BC=4，，现将三角形ABC绕BC旋转一周,所得简单组合体的体积为
A． B. C.12 D.
12。棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是
A． B。 C. D。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
C
D
A
A
B
B
A
C
C
B
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）。
13. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 3。
14.已知底面半径为的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为,最小值为,那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是.
15. （江西卷）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6,
BC＝CC1＝，P是BC1上一动点,则CP＋PA1的最小值是。
16.圆柱的轴截面的对角线长为定值，为使圆柱侧面积最大,轴截面对角线与底面所成的角为 450 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共4个大题，共20分)。
17。圆锥的底面半径为 ，高为12,当它的内接圆柱的底面半径为何值时,圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少？
当r=30/7cm时,S的最大值是
18．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面对角线A1B与侧面ACC1A1成45°角，AB=4，求棱柱的侧面积。
棱柱的侧面积为24
练习11 空间几何体的表面积与体积
A组
1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ）。
(A) （B） （C) (D)
2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是( ）。
（A） （B） （C） （D）
3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是 .
4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2,则它们的高之比为 。
5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_______________.
6．矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b 旋转一周时， 所形成的几何体的体积之比为 。
7．球面上有三点，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的，经过这三点的小圆周长为4π，则这个球的表面积为 。
B组
1．四面体 ABCD 四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 .
2．半径为R的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积是 。
3．如图,一个棱锥S－BCD的侧面积是Q，在高SO上取一点A，使SA=SO，过点A作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱台的侧面积。
4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形,边长AB=a，且PD=a，PA=PC=a,若在这个四棱锥内放一个球,求球的最大半径。
练习七参考答案
A组 1．答案:A
解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则2πr=a,，底面圆的面积是，于是全面积与侧面积的比是,选A。
2．答案：D
解:正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是，于是8个三棱锥的体积是，剩余部分的体积是,选D。
3．答案:148 cm2
解:底面菱形中,对角线长分别是6cm 和8cm，所以底面边长是5cm,
侧面面积是4×5×5=100cm2，两个底面面积是48cm2，
所以棱柱的全面积是148cm2.
4．答案:2：
解:设圆柱的母线长为l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和，
由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式,得，，
所以它们的高的比是。
5．答案:1cm3
解:转换一个角度来认识这个三棱锥,即把它的两条侧棱（如长度为1cm，2cm的两条）确定的侧面看作底面,另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3,
则它的体积是×1×3=1cm3。
6．答案：
解:矩形绕a边旋转，所得几何体的体积是V1=πb2a，矩形绕b边旋转，所得几何体的体积是V2=πa2b,所以两个几何体的体积的比是.
7．答案：48π
解：小圆周长为4π，所以小圆的半径为2,又这三点A、B、C之间距离相等，
所以每两点间的距离是AB=BC=AC=2，
又A、B之间的大圆劣弧长等于大圆周长的，所以A、B在大圆中的圆心角是60°，
所以大圆的半径R=2,于是球的表面积是4πR2=48π.
B组 1．答案：1:9
解:如图，不难看出四面体EFGH与四面体ABCD是相似的。所以关键是求出它们的相似比，
连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N，
由于F、G分别是三角形的重心，所以M、N分别是BC、CD的中点，且AF：AM=AG:AN=2:3，
所以FG：MN=2：3，又MN：BD=1：2，
所以FG:BD=1：3,即两个四面体的相似比是1：3,
所以两个四面体的表面积的比是1：9.
2．答案:
解：如图，过正方体的对角面AC1作正方体和半球的截面。
则OC1=R，CC1=a，OC=a,
所以，得a2=R2，
所以正方体的表面积是6a2=4R2.
3．解：棱锥S－BCD的截面为B’C'D'，过S 作SF⊥B’C',垂足为F,延长SF交BC于点E，连结AF和OE，
∵ 平面BCD//平面B’C’D’，平面B’C'D’∩平面SOE=AF，平面BCD∩平面SOE=OE，
∴ AF//OE，于是，即，同理可得，
∴ ，,，
∴ S棱锥S－B’C’D'=Q，∴ S棱台侧=Q.
4．解：设放入的球的半径为R，球心为S,当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大,
连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,这些小棱锥的高均为R，底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系，得
又VP－ABCD=S正方形ABCD·PD=a3，∴ ，
解得R=，
故所放入的球的最大半径为.