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椭圆离心率三个公式
椭圆的离心率（eccentricity）是指椭圆的形状程度，通常用 e 表示。离心率的大小只与椭圆的长轴和短轴有关，而与椭圆的位置或方向无关。在本文中，我们将介绍三种计算椭圆离心率的公式。

1. 椭圆离心率的定义公式

最常用的计算椭圆离心率的公式是定义公式：

e = c / a

其中，e 表示椭圆离心率，c 表示椭圆的焦距（即长轴一半），a 表示椭圆的半长轴。

例如，对于半长轴为 5、焦距为 3 的椭圆，可以用以上公式计算其离心率：

e = 3 / 5 = 0.6

2. 椭圆离心率的几何构造公式

椭圆也可以通过几何构造来计算其离心率。具体来说，如果在椭圆上取一个点 P，连接 P 和椭圆的两个焦点 F1 和 F2，设 PF1 和 PF2 的长度分别为 d1 和 d2，则该椭圆的离心率为：

e = d1 / 2a

其中，a 表示椭圆的半长轴。

下图展示了椭圆离心率的几何构造。

![ellipse-eccentricity-geometry.png](

例如，对于半长轴为 5、焦距为 3 的椭圆，取一个点（如图中的 P 点），可以确定 d1 和 d2 的长度为 4 和 2，根据上式可以计算出椭圆的离心率为：

e = 4 / (2 × 5) = 0.4

3. 椭圆离心率的三点法公式

除了以上两个公式，我们还可以利用椭圆上三点的坐标来计算椭圆离心率。具体来说，设椭圆上有三个点 A、B、C，分别对应坐标（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），则椭圆的离心率为：

e = √(1 - (b^2 / a^2))

其中，a 表示椭圆的半长轴，b 表示椭圆的半短轴，可以通过以下公式计算：

a = √((x1^2 - x2^2)(y2 - y3) + (x2^2 - x3^2)(y3 - y1) + (x3^2 - x1^2)(y1 - y2)) / ((y1 - y2)(x2 - x3) - (y2 - y3)(x1 - x2))

b = √((x1^2 - x2^2)(y1 - y3) + (x2^2 - x3^2)(y2 - y1) + (x3^2 - x1^2)(y3 - y2)) / ((y1 - y2)(x2 - x3) - (y2 - y3)(x1 - x2))

通过三点的坐标计算椭圆的离心率比起用长轴、短轴或焦距计算更为复杂，但是更具有一般性。

例如，对于椭圆上的三个点 A（0，3）、B（2，-1）、C（-2，-1），可以用上述公式求出该椭圆的离心率为：

a = √((0 - 2)^2(-1 - (-1)) + (2^2 - (-2)^2)(-1 - 3) + ((-2)^2 - 0^2)(3 - (-1))) / ((3 - (-1))(2 - (-2)) - (-1 - (-1))(0 - 2)) = √20

b = √((0 - 2)^2(3 - (-1)) + (2^2 - (-2)^2)(-1 - 3) + ((-2)^2 - 0^2)(-1 - (-1))) / ((3 - (-1))(2 - (-2)) - (-1 - (-1))(0 - 2)) = √5

e = √(1 - (5 / 20)^2) = 0.87

总结

本文介绍了三种计算椭圆离心率的公式：定义公式、几何构造公式和三点法公式。这些公式可以根据椭圆长轴和短轴、椭圆焦距或者椭圆上三个点的坐标计算得出。根据具体的情况选择不同的公式可以更方便地计算椭圆离心率。