钢-混凝土简支结合梁基本动力特性的解析解.pdf
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1、第3 6卷第3期铁 道 学 报 V o l . 3 6 N o . 3 2014年3月J OUR NA LO FTHECH I NAR A I LWAYS O C I E T YM a r c h2 0 1 4 文章编号:1 0 0 1 - 8 3 6 1( 2 0 1 4)0 3 - 0 1 0 0 - 0 6 钢-混凝土简支结合梁基本动力特性的解析解 侯忠明1 ,2, 夏 禾1, 张彦玲3 ( 1.北京交通大学 土木建筑工程学院, 北京 1 0 0 0 4 4;2.清华大学 结构工程与振动教育部重点实验室, 北京1 0 0 0 8 4; 3.石家庄铁道大学 土木工程学院,河北 石家庄 0
2、5 0 0 4 3) 摘 要:考虑钢梁与混凝土板之间的相对滑移, 对考虑阻尼的钢-混凝土结合梁基本动力方程进行推导, 采用分 离变量法得到简支结合梁自振频率与振型的解析解, 并对其正交条件进行探讨。将理论分析结果、 数值结果及试 验结果进行对比分析, 结果吻合良好。分析结果表明: 由于柔性抗剪连接件的存在, 结合梁中钢梁与混凝土板之 间发生相对滑移, 其动力平衡方程形式更为复杂, 表现出与普通梁不同的动力特性。 关键字:钢-混凝土结合梁; 动力特性; 阻尼; 自振频率; 正交条件; 试验研究 中图分类号:U 4 4 1+. 3 文献标志码:A d o i: 1 0. 3 9 6 9/ j .
3、i s s n . 1 0 0 1 - 8 3 6 1. 2 0 1 4. 0 3. 0 1 6 A n a l y t i c a l S o l u t i o nt oD y n a m i cC h a r a c t e r i s t i c so fS i m p l y - s u p p o r t e d S t e e l - c o n c r e t eC o m p o s i t eB e a m s HOUZ h o n g - m i n g 1,2, X I A H e 1, Z HANGY a n - l i n g 3 (1. S c h o o l o
4、 fC i v i lE n g i n e e r i n g,B e i j i n gJ i a o t o n gU n i v e r s i t y,B e i j i n g1 0 0 0 4 4,C h i n a;2. D e p a r t m e n to fC i v i lE n g i n e e r i n g, K e yL a b o r a t o r yo fS t r u c t u r a lE n g i n e e r i n ga n dV i b r a t i o no fC h i n aE d u c a t i o nM i n i s
5、 t r y,T s i n g h u aU n i v e r s i t y,B e i j i n g1 0 0 8 4,C h i n a; 3. S c h o o l o fC i v i lE n g i n e e r i n g,S h i j i a z h u a n gT i e d a oU n i v e r s i t y,S h i j i a z h u a n g0 5 0 0 4 3,C h i n a) A b s t r a c t:C o n s i d e r i n g t h e s l i pb e t w e e n t h e s t
6、e e l g i r d e r a n dc o n c r e t e s l a b,t h eb a s i c e q u a t i o n sg o v e r n i n g t h em o - t i o no f s t e e l-c o n c r e t ec o m p o s i t eb e a m sw i t hd a m p i n gw e r ed e d u c e dw i t ht h ed i r e c tb a l a n c e dm e t h o d . B yv a r i a- b l es e p a r a t i o n
7、a p p r o a c h,t h ea n a l y t i c a l s o l u t i o n st on a t u r a l f r e q u e n c i e sa n dm o d e so fv i b r a t i o no fs i m p l y - s u p - p o r t e dc o m p o s i t eb e a m sw e r eo b t a i n e d,a n d t h eo r t h o g o n a l c o n d i t i o n sw e r ed i s c u s s e d . B yc o m
8、 p a r i s o n,t h e t h e - o r e t i c a l,n u m e r i c a l a n de x p e r i m e n t a l r e s u l t sw e r e f o u n dt oa g r e ew e l l . T h ea n a l y s i s r e s u l t sa l s os h o wt h a td u e t ot h e f l e x i b l es h e a rc o n n e c t o r s,t h er e l a t i v es l i po c c u r sb e
9、t w e e nt h es t e e l g i r d e ra n dc o n c r e t es l a bo f t h ec o m - p o s i t eb e a m s a n d t h ed y n a m i c e q u i l i b r i u me q u a t i o n sb e c o m em o r e c o m p l e xa n dd e m o n s t r a t ed y n a m i c c h a r a c t e r - i s t i c sd i f f e r e n t f r o mc o n v e
10、 n t i o n a lb e a m s . K e yw o r d s:s t e e l - c o n c r e t ec o m p o s i t eb e a m;d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s;d a m p;n a t u r a l f r e q u e n c y;o r t h o g o n a l c o n - d i t i o n s;e x p e r i m e n t a l s t u d y 钢-混凝土结合梁桥充分利用混凝土板抗压和钢 梁抗拉的特点, 二者采用抗剪连接件连接, 这种构造
11、方 式既提高了其承载能力, 又减小了结合梁的自重及应 力幅, 并增强了结合梁的抗疲劳能力, 被大量应用在建 筑、 公路和铁路桥梁中, 典型结合梁构造见图1。由于 抗剪连接件的柔性, 在外荷载的作用下混凝土板和钢 梁之间会产生一定的滑移, 使得在进行结合梁静力计 算时, 必须要考虑滑移带来的影响 1 - 2。同时, 由于结 收稿日期:2 0 1 2 - 0 5 - 2 5;修回日期:2 0 1 2 - 0 7 - 1 7 基金项目:国家自然科学基金项目(5 1 1 7 8 0 2 5,5 1 1 0 8 2 8 1) ; 铁道部 科技研究开发计划(2 0 1 0 G 0 0 4 - J) 作者简
12、介:侯忠明(1 9 8 2) , 男, 安徽萧县人, 助理研究员, 博士。 E - m a i l:h o u. z h o n g . m i n g 1 6 3. c o m 合梁的这种结构特点, 与普通梁相比, 其动力特性也表 现出显著的不同 3。然而, 公开报道的关于考虑界面 滑移的结合梁动力方程推导的文献非常少见 4, 且未 涉及到阻尼的影响。 本文运用直接平衡法, 考虑阻尼的影响, 推导简支 钢-混凝土结合梁的基本运动方程, 并进行了求解。在 此基础上, 得到结合梁的质量、 刚度和阻尼矩阵的正交 条件, 并与数值结果、 实验结果进行对比。 1 基本分析模型及运动方程 为考虑柔性抗剪
13、连接件的影响, 把结合梁划分成 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2个子梁, 即混凝土板和钢梁, 见图2。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 建立基本分析模型时, 假设为 ( 1)混凝土板和钢梁之间没有因掀起而脱离; ( 2)对于一般结合梁, 梁的高跨比较小, 可忽略转 动惯量和剪切变形的影响; ( 3)剪力栓钉承受的剪力沿梁长均匀分布, 纵向 单位长度的刚度为常量KS; ( 4)钢梁与混凝土板之间是光滑的, 即可忽略混 凝土与钢梁之间的黏结力。 1. 1 竖向力平衡方程 推导中作以下定义: 下标1
14、、2分别代表混凝土和 钢梁。取长度为dx的一段微元, 其交界面上的剪力 可表示为QL(x)=KSdx, 混凝土板与钢梁之间的竖 向力为p c(x,t) , 二者的阻尼 系数分别为c1(x) 和 c2(x) , 那么 Q1(x,t)+p(x,t)dx+pc(x,t)dx- Q1(x,t)+ Q1(x,t) x d x-fD 1(x, t)-fI 1(x,t)dx=0 (1) Q2(x,t)-pc(x,t)dx- Q2(x,t)+ Q2(x,t) x d x-fD 2(x, t)-fI 2(x,t)dx=0 (2) 式中: fI和fD分别为梁体承受的惯性力和阻尼力,fI ( x,t)=m(x) 2
15、 v(x,t) t 2 , fD(x,t)=c(x) v(x,t) t 。 由式(1) 、 式(2) 可得 Q(x,t) x =p(x,t)-m(x) 2 v(x,t) t 2 -c(x) v(x,t) t (3) 式中: Q(x,t) 、m(x) 、c(x) 分别为单位长度的梁所承受 的剪力、 质量、 阻尼系数, Q(x,t)=Q1(x,t)+Q2(x, t) ,m(x)=m1(x)+m2(x) ,c(x)=c1(x)+c2(x) 。 1. 2 弯矩平衡方程 假设混凝土板重心轴和钢梁重心轴之间的距离为 h, 它们到整个结合梁的重心轴的距离分别为hc和hs, 显然h=h c+hs。对2个子梁重
16、心轴右侧的点分别取 矩, 可得 M1(x,t) x =Q1(x,t)-KShc+ 1 2 p(x,t)dx+ pc(x,t)dx-fI 1(x,t)dx-fD 1(x,t)dx (4) M2(x,t) x =Q2(x,t)-KShsd- 1 2 pc(x,t)dx+fI 2(x,t)dx+fD 2(x,t)d x (5) 式中:M1为分配到混凝土板上的弯矩, M1=E1I1 2 v x 2, E1I1为竖向刚度;M2为分配到钢梁上的弯矩, M2=E2I2 2 v x 2, E2I2为竖向刚度。 简化式(4)、 式(5) , 可得 M(x,t) x =Q(x,t)+ 1 2 p(x,t)dx-
17、m(x) 2 v(x,t) t 2 dx-c(x) v(x,t) t dx+KSh (6) 式中:M( x,t) 、Q(x,t) 、fI(x,t) 和fD(x,t) 分别为梁 体所承受的弯矩、 剪力、 惯性力和阻尼力。 M(x,t)=M1(x,t)+M2(x,t) Q(x,t)=Q1(x,t)+Q2(x,t) fI(x,t)=fI 1(x,t)+fI 2(x,t) fD(x,t)=fD 1(x,t)+fD 2(x,t) 假设在dx长度范围内, 当梁体发生竖向挠度v ( x,t) 时, 混凝土板与钢梁之间的纵向相对滑移为, 由此而引起的其重心轴法向连线的转角为, 混凝土 板和钢梁的转角为v ,
18、则由图2可知 =(+v ) h (7) 若不考虑式(6) 中的极小项, 则其为 M(x,t) x =Q(x,t)+KSh 2( +v ) (8) 1. 3 运动方程的建立 对式(8) 求偏导, 可得 2M( x,t) x 2 = Q(x,t) x +KSh 2( +v ) ( 9) 101 第3期钢-混凝土简支结合梁基本动力特性的解析解 将式(3) 代入式(9) , 可得 2M( x,t) x 2 =p(x,t)-m(x) 2 v(x,t) t 2 - c(x) v(x,t) t +KSh 2( +v ) ( 1 0) 作以下定义: (E I)B=E1I1+E2I2为混凝土板与 钢梁绕自身重心
19、轴的抗弯刚度之和; ( E I)C=E1A1h 2 1 +E2A2h 2 2为混凝土板与钢梁绕整个梁的重心轴的抗 弯刚度之和。则式( 1 0) 为 ( E I)B 4 v(x,t) x 4 +m(x) 2 v(x,t) t 2 +c(x) v(x,t) t = p(x,t)+KSh 2( +v ) ( 1 1) 对于长度为dx的微元, 存在以下关系 KSh 2( +v ) =(E I)C ( 1 2) 式中: 由混凝土板和钢梁之间的相对滑移引起其重心 轴法向连线的转角, 仅考虑其平动, 不考虑其转动, 故式 ( 1 2) 右边为(E I)C。滑移引起的弯矩MC(x)= ( E I)C ( x)
20、 。整理式(1 1) 、 式 (1 2) , 可得 6 v(x,t) x 6 - KSh 2( E I)F ( E I)C(E I)B 4 v(x,t) x 4 + m(x) ( E I)B 4 v(x,t) x 2 t 2 + c(x) ( E I)B 2 v(x,t) xt - KSh 2m( x) ( E I)C(E I)B 2 v(x,t) t 2 = 1 ( E I)B 2 p(x,t) x 2 - KSh 2 p(x,t) ( E I)C(E I)B ( 1 3) 式( 1 3) 为考虑了栓钉滑移的等截面直线结合梁的运动 方程。此处( E I)F=(E I)C+(E I)B为抗剪连
21、接件的 刚度为无穷大时结合梁的截面刚度, 即相当于二者之 间没有滑移的状态。 2 运动方程的求解 在式( 1 3) 中, 若认为m(x) 为常量m,c(x) 为常量 c, 那么可采用分离变量法求解。从前文推导看, 简支 结合梁的振动方程, 形式上与普通梁接近, 在梁的刚度 表达式上有所差异。 2. 1 运动方程的求解及振型方程 假定解的形式为 v(x,t)=(x ) q(t) ( 1 4) 式中: ( x) 为振型;q(t) 为随时间变化的振幅。 把式( 1 4) 代入式(1 3) , 可得分离变量后的结合梁 自由振动方程为 ( E I)Bd 2 ( x) dx 2 - KSh 2 m(x)
22、( E I)C(E I) B d 2 q(t) dt 2 + c ( E I)B d ( x) dx dq(t) dt + d 6 ( x) dx 6 - KSh 2( E I)F ( E I)C(E I)B d 4 ( x) dx 4q( t)= 1 ( E I)B 2 p(x,t) x 2 - KSh 2 p(x,t) ( E I)C(E I)B ( 1 5) 从形式上看, 式(1 5) 为典型的常系数二阶线性微 分方程, 即 m*q(t)+c * q(t)+k *q( t)=p*(t) ( 1 6) 式中: m*= m ( E I)B d 2 ( x) dx 2 - KSh 2 m(x)
23、 ( E I)C(E I)B c * = c ( E I)B d ( x) dx k * =d 6 ( x) dx 6 - KSh 2( E I)F ( E I)C(E I)B d 4 ( x) dx 4 分别为系统的广义质量、 广义阻尼和广义刚度矩阵; p * = 1 ( E I)B 2 p(x,t) x 2 - KSh 2 p(x,t) ( E I)C(E I)B 为系统的广义荷载。则式( 1 6) 的解为 q(t)=e - t q(0)+q(0) D s i nDt+q(0)c o sD t ( 1 7) 式中: 为阻尼比; D为有阻尼振动频率,D= 1- 2; 为系统自振圆频率。 记=
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