长周期超高层钢筋混凝土建筑P_效应分析与稳定设计.pdf
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1、书书书 第 44 卷 第 2 期 2014 年 1 月下 建筑结构 Building Structure Vol 44 No 2 Jan 2014 长周期超高层钢筋混凝土建筑 P-效应分析与稳定设计 扶长生, 周立浪, 张小勇 ( 上海长福工程结构设计事务所,上海 200031) 摘要 应用解析解和能量法讨论了等截面均质悬臂杆模型以及基于顶点位移等效原理的等效刚重比的理论缺 陷和不确定性, 明确指出带 P- 杆或 P- 柱的力学模型是对结构进行 P- 效应数值分析的最理想模型。按我国规 范, 提出按小震和大震二阶段进行稳定设计的学术观点。建议在基于承载力的小震设计中, 将使用有限元法得到 的屈
2、曲因子直接作为判别结构整体稳定性的设计指标, 使用 “直接法” 确定放大的位移和弯矩。在基于变形的大震 设计中, 同时考虑材料非线性和构件几何非线性, 计算塑性( 广义) 变形, 评估结构的抗震性能目标。 关键词 屈曲分析; P- 效应分析;材料非线性;几何非线性 中图分类号: TU398. 2文献标识码: A 文章编号: 1002- 848X( 2014) 02- 0001- 07 P- effect analysis and stability design of long- period super high- rise C buildings Fu Changsheng,Zhou Li
3、lang,Zhang Xiaoyong ( Shanghai ChinaFu Structural Design Inc,Shanghai 200031,China) Abstract: By using the analytical solutions and energy method,the uncertainties and theoretical discrepancies were discussed of the model of homogeneous cantilever strut with uniform section and equivalent rigidity-
4、to- gravity ratio based on vertex displacement equivalent principle It is concluded that the model with P- strut or P- column is the most reasonable model to carry numerical analysis of the P- effects In accordance with the codes in China,it is proposed that the stability design could be done in two
5、 stages of frequent and rare earthquakes The suggestions are made that in the seismic design under frequent earthquake based on bearing capacity,the buckling factor obtained by FEM could be used to judge the overall stability of the structure and the magnified lateral displacements and moments could
6、 be determined by direct method In the seismic design under rare earthquake based on deformation,both of material and geometrical nonlinearity should be considered to calculate plastic deformation and estimate the performance- based seismic design objectives of the structure Keywords: buckling analy
7、sis; P- effect analysis;material nonlinearity;geometrical nonlinearity 作者简介: 扶长生, 教授级高级工程师, Email: cfstruct vip sina com。 0引言 随着高度增高、 重力荷载增加、 基本周期增长, 结构基于二阶理论的稳定设计显得越来越突出。本 文定义基本周期处于加速度反应谱位移敏感区段的 超高层建筑为长周期超高层建筑。长周期超高层建 筑的侧向刚度与重力荷载之比是稳定设计的一个重 要指标。文献 1应用弹性屈曲临界荷载, 提出了 等效抗侧刚度/( 高度平方 重力荷载设计值) , 即 将 EIeq/
8、H2Gi作为弹性阶段控制高层建筑混凝土 结构重力二阶效应的设计指标, 定义为等效刚重比。 高层建筑混凝土结构技术规程 ( JGJ 32001) 纳 入了此项研究成果, 规定当 EIeq/H2Gi2 7 时, 可 不 考 虑 重 力 二 阶 效 应 的 不 利 影 响;当 EIeq/H2Gi 1 4 时, 结构不满足整体稳定性; 当 1 4 EIeq/H2Gi 2 7 时, P- 效应对结构内力 和位移的不利影响可采用有限元法进行计算, 也可 以使用放大系数法来近似考虑。这些条文思路清 晰、 形式简单、 计算工作量不大, 在分析手段尚不很 完善的年代, 对促进我国高层建筑的结构设计起到 了一定的
9、作用 。高层建筑混凝土结构技术规程 ( JGJ 32010) 2 ( 简称高规 JGJ 32010) 保留了它 们。然而, 在实践的过程中暴露了一些问题。等效 刚重比的基本力学模型及假定为: 1) 等截面均质悬 臂杆; 2) 倒三角形分布水平荷载作用下悬臂杆与结 构顶部位移相等。在结构分析中, 基于上述假定的 屈曲分析并不能准确反映结构真实的屈曲性能。文 献 3 以上海中心大厦为工程背景, 讨论了等效刚 重比规范公式的适用性, 并在施工图设计中对此做 了修正。 本文应用屈曲分析微分方程的解析解讨论了等 建筑结构2014 年 截面均质悬臂杆模型和基于顶部位移等效原理的等 效刚重比的理论缺陷以及不
10、确定性, 指出使用计入 几何刚度的有限单元法是对结构进行 P- 分析的最 佳数值方法, 提出按小震和大震二阶段进行高层建 筑结构稳定性设计的学术观点。最后, 给出工程范 例和几点建议。 1等截面均质悬臂杆模型的评估 1. 1 微分方程解析解 图 1 给出了理论研究杆件屈曲的通用力学模 型。图中, 一根无初始缺陷的变截面弹性杆, 顶部集 中竖向荷载 P 以及重力分布荷载 q( z) 作用在对称 轴上。模型计入了刚度和质量不均匀分布的特征。 图中: L 为杆件长度; a 为杆顶至锥体延长线交点的 距离; I1, I2分别为杆顶和杆底的截面惯性矩;q 2为 作用在杆底部的分布荷载;p 为分布荷载沿杆
11、长的 分布规律; 为杆顶的水平位移。 图 1单根悬臂杆屈曲分析通用模型 对于图 1( a) 所示坐标系统, 研究弹性屈曲问题 的微分方程为: EI( z)d 2u dz2 = P( u)+ L z q( z) ( u) d ( 1) 式中 u 为沿高度的侧向挠度曲线, u = u( z)。 对于等截面悬臂杆, 若略去重力分布荷载, 式 ( 1) 退化为二阶常系数微分方程。解微分方程及相 应的特征方程得特征值, 即临界荷载 Pcr: Pcr= mEI L2 ( 2) 式中 m 为考虑不同支座、 不同截面形状、 不同重力 荷载分布的临界系数, 对于等截面均质悬臂杆,m = 2/4 = 2 467,
12、 对应于一阶屈曲模态。 对于等截面均质悬臂杆, q( z)= q 。若略去顶 部集中荷载 P, 通过变量代换, 式( 1) 可表示为 Bessel 微分方程。应用 Bessel 函数, 一阶等效临界荷载可表 达为式( 2) 的形式, 其中 m = 7837, 则有: Pcr= 7 837EI L2 ( 3) 对于锥形截面均质杆, 惯性矩沿高度呈 4 次方 变化。若略去重力分布荷载, 图 1( b) 左侧坐标系移 动坐标原点, 且 z 轴向下, 式( 1) 可以改写为: z4 d2u dz2 + 2u = 0 ( 4) 而: 2= Pa4 EI1 ( 5) 通过变量代换, 式( 4) 仍可以表示
13、为 Bessel 微 分方程, 其通解具有 1/2 阶第一类和第二类 Bessel 函数的形式: u = z Acos( /z)+ Bsin( /z) ( 6) 式中 A, B 为积分常数。 利用悬臂杆两端的边界条件, 由特征方程解得 临界荷载 Pcr。把 Pcr写为式( 2) 的形式, 表 1 列出 不同锥度对应于一阶临界荷载的 m 值。 锥形截面均质悬臂杆的临界系数 m表 1 I1/I20. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 91. 0 m1. 202 1. 505 1. 710 1. 870 2. 002 2. 116 2. 217 2. 308 2. 39
14、1 2. 467 数学上已经证明, 对于变截面非均质杆, 只要截 面惯性矩和重力分布荷载沿高度呈幂函数分布, 则 可表示为: EI( z)= EI2() z/L n, q( z)= q 2 () z/L p ( 7) 取图 1( b) 右侧坐标系, 通过变量代换, 屈曲微 分方程总可以借助于 Bessel 函数积分求解。等效顶 部临界荷载总可以表达为式( 2) 的形式: Pcr= L 0 q2( z/L) pdz = mEI2 L2 ( 8) 对于锥形截面, n = 4 。对于均匀分布、 线性分 布、 二次分布重力荷载和三次分布重力荷载, p 分别 为 0, 1, 2, 3。 表 2 给出了对
15、于等截面, 即 n = 0, p = 0, 1, 2, 3 时的一阶临界荷载的 m 值。 等截面非均质悬臂杆的临界系数 m( n =0)表 2 p0123 m7. 8416. 127. 341. 3 为了简洁, 本小节仅列出屈曲分析的微分方程 2 第 44 卷 第 2 期扶长生, 等 长周期超高层钢筋混凝土建筑 P- 效应分析与稳定设计 以及相应的一阶临界荷载, 详细推导参见文献 4 。 1. 2 能量法和应变能等效 能量法是求解一阶弹性临界荷载最有效的近似 方法, 其基本原理是能量平衡, 即随着顶部发生侧向 位移 , 杆的应变能 Us等于作用于顶部集中竖向荷 载 P 做的功 Vp。悬臂杆应变
16、能: Us= 1 2 L 0 EI( z)( u) 2dz ( 9) 竖向荷载做的功: Vp= 1 2 P L 0 ( u) 2dz ( 10) 令 Us= Vp,在已知截面尺寸以及侧向挠度曲 线方程的前提下, 解得临界荷载 Pcr。若假定的侧 向挠度曲线等于一阶屈曲模态曲线, 由能量法解得 的临界荷载为精确解。对于等截面均质杆, 若取一 阶模态曲线方程为: u = 1 cos( z/2L) ( 11) 把式 ( 11) 代入式 ( 9) 和式 ( 10) , 得 Pcr= 7. 837EI/L2, 与解析解相等。 显然, 按能量原理, 等效系统与被等效系统之间 应变能的等效, 即: 1 2
17、L 0 EI( z)( u) 2dz =1 2 EIeq L 0 ( ueq) 2dz ( 12) 这是最合理的等效方法。由式( 12) 得: Ieq= L 0 I( z)( u) 2dz L 0 ( ueq) 2dz ( 13) 1. 3 综合评估 1. 3. 1 等截面均质杆 按表 2 列出的数据, 若重力总荷载相等, 按均匀 分布、 线性分布、 二次分布, 三者的临界荷载之比为 PU cr P L cr P Q cr = 1 1 02 1 16, 表明重力荷载沿高 度的分布模态对临界荷载有相当的影响。每一栋建 筑的重力荷载的确切分布模态是不相同的, 有时会 相差很多。因此, 应用等截面均
18、质杆模型估计临界 荷载的精度并不一定能满足设计要求。 1. 3. 2 顶部位移等效 顶部位移相等并不能保证等效系统和被等效系 统的侧向挠度曲线相等。也就是说, 两者的应变能 并不相等, 暗示了临界荷载也是不相等的。以等截 面均质杆、 等效锥形截面均质杆作为例子, 图 2 给出 了解析解、 应变能等效法及顶部位移等效法( 倒三 角形荷载作用下) 的 m- I1/I2曲线。其中应变能等效 时, 采用式( 11) 作为等截面均质杆的挠度曲线方 程, 采用式( 6) 作为锥形截面均质杆的挠度曲线方 图 2m- I1/I2曲线的比较 程。当 I1/I2= 0 1,顶部位移等效的 m 值误差达 20%以上
19、。与预期相同, 由于使用了一阶屈曲模态 作为侧向挠度曲线, 应变能等效的 m 曲线几乎与解 析解重合。以上仅仅是锥形截面和等截面之间的简 单等效。事实上, 无法估计等效均质悬臂杆与实际 结构之间应变能差别引起的误差范围。 1. 3. 3 侧向荷载分布 高规 JGJ 32010 规定使用倒三角形荷载分布 求取顶部位移, 意图是使侧向荷载分布尽量与规范 规定的水平地震作用分布一致。然而, 正如前述, 仅 仅是那些接近于一阶屈曲模态的侧向挠度曲线才可 能得到满意的近似解。事实上, 无法估计哪一种荷 载分布作用下的侧向挠度曲线与结构实际屈曲模态 曲线之间的接近程度更好。 1. 3. 4 小结 为了减小
20、风和地震作用效应, 满足垂直交通的 要求, 长周期超高层建筑的体形特征和竖向构件的 截面尺寸一般是底部大、 顶部小, 质量和刚度沿高度 的分布也是底部大、 顶部小。锥形截面非均质竖向 悬臂杆力学模型保留了结构最基本的刚度和质量分 布特征, 可以作为基本模型, 对高层建筑的弹性屈曲 和非线性屈曲进行基础理论研究。然而, 模型过于 简单, 略去了许多真实的因素。例如, 结构平面布 置, 偏心率, 核心筒与框架之间侧向刚度的比例, 开 口薄壁杆件和闭口薄壁杆件之间的差别, 连梁和框 架梁的影响, 加强层质量、 刚度以及裙房质量、 刚度 的影响等, 在模型中都未得到应有的反映。它们对 计算结果的精度是
21、有相当影响的。因此, 分析结果 不能直接作为设计依据。而等截面均质杆、 倒三角 形荷载分布下顶部位移相等的分析模型在理论体系 上存在缺陷, 在近似程度上存在无法估计的不确定 性, 似乎更无法满足工程设计要求。 2屈曲的有限元分析方法 有限单元法的数学背景是求解泛函变分的极值 问题。数学中的泛函可以是弹性理论的势能。能量 平衡原理揭示了结构屈曲的最佳近似分析方法是有 3 建筑结构2014 年 图 3屈曲分析和 P- 分析的有限元模型 图 4 F- D 关系曲线 限单元法。与屈曲分析密切相关的是 P- 分析。屈 曲分析中, 杆件仅承受竖向荷载( 包括竖向集中荷 载和重力分布荷载) , 主要目的是确
22、定临界屈曲荷 载。 P- 分析中, 杆件同时承受竖向荷载和水平荷 载, 主要目的是分析 P- 效应给设计造成的影响。 在有限元编程中, 屈曲分析和 P- 分析使用相同的 分析模型。以下说明, 应用有限元法, 临界荷载的确 定将演变为一个标准的特征值求解。 2. 1 基本模型 P- 效应包括侧向位移引起的 P- 贡献和杆件 弯曲引起的 P- 贡献。 P- 杆为一根刚性杆, 无弹性 刚度, 顶部与弹性杆之间用刚性连杆铰接连接, 底部 固定于嵌固端, 模拟 P- 贡献。P- 索为一根柔性 索, 发生与弹性杆相同的挠度曲线, 模拟 P- 贡献。 高规 JGJ 32010 制订了墙体弯曲稳定验算的条文
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