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三角恒等变换和解三角形基本知识回顾 （2009年11月19日）

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

如（1）下列各式中，值为的是 A、 　B、　C、　　D、　（答：C）；
（2）命题P：，命题Q：，则P是Q的　
A、充要条件　　B、充分不必要条件　　　
C、必要不充分条件　D、既不充分也不必要条件（答：C）；
（3）已知，那么的值为____（答：）；（4）的值是______（答：4）；
(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）
2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，，，等），
如（1）已知，，那么的值是_____（答：）；（2）已知，且，，求的值（答：）；（3）已知为锐角，，，则与的函数关系为______（答：）
(2)三角函数名互化(切化弦)，
如（1）求值（答：1）；
（2）已知，求的值（答：）
(3)公式变形使用（。
如（1）已知A、B为锐角，且满足，则＝_____（答：）；
(2)设中，，，则此三角形是____三角形（答：等边）
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)。如(1)若，化简为_____（答：）；（2）函数
的单调递增区间为___________（答：）
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）
（答：）；（2）求证：；（3）化简：（答：）
(6)常值变换主要指“1”的变换（
等），如已知，求（答：）.
(7)正余弦“三兄妹—”的内存联系――“知一求二”，如（1）若 ，则 __（答：)，特别提醒：这里；（2）若，求的值。（答：）；（3）已知，试用表示的值（答：）。
3、辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程有实数解，则的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数取得最大值时，的值是______(答：)；（3）如果是奇函数，则= (答：－2)；（4）求值：________(答：32)
4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若，且、是方程的两根，则求的值______（答：）；（2）中，，则＝_______（答：）；（3）若且，，求的值（答：）.
5、. 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：；
；；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
(4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在中，A＞B是成立的_____条件（答：充要）；（3）在中， ，则＝_____（答：）；(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则＝____（答：）；（5）在中，若其面积，则=____（答：）；（6）在中，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_______（答：）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为 （答：）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答：）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求（答：）．

两角和与差的三角函数 （2009年11月20日）
例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.
解：原式=
=
=
=
=
=
变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于（ ）
A. B.7 C.－ D.－7
(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）
A.－ B. C.－ D.
解：(1)A (2)B
例2. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵α－＋＋β＝α＋β＋
α∈() β∈(0,)
∴α－∈(0,) β＋∈(,π)
∴sin(α－)＝ cos()＝－
∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]
＝－cos[(α－)＋()]＝
变式训练2：设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，
求cos（+β）.
解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.
故由cos（－）=－，得sin（α－）=.
由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（－）－（－β）］==
∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－.
例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.
解 ∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=，
∴cosA=-=-=-，
cosB=-=-=-，
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
=×-×= ①
又∵＜A＜, ＜B＜,
∴＜A+B＜2 ②
由①②知，A+B=.
变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2-- cos2B=,求角B的度数.
解 在△ABC中，A+B+C=180°,
由4sin2-cos2B=,
得4·-2cos2B+1=,
所以4cos2B-4cosB+1=0.
于是cosB=,B=60°.
例4．化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.
解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）
原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)
=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)
=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-
=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-
=sin2+cos2-=1-=.
方法二 （从“名”入手，异名化同名）
原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2
=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2
=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2
=cos2-cos2·
=-cos2·
=-cos2=.
方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式=·+·-cos2·cos2
=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.
方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2
=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2
=cos2(+)-·cos(2+2)
=cos2(+)- ·［2cos2(+)-1］=.
变式训练4：化简：（1）sin+cos;
(2）.
解 （1）原式=2
=2
=2cos=2cos(x-).
（2）原式===1.

二倍角的正弦、余弦、正切 （2009年11月21日）

例1. 求值：
解：原式＝
＝＝
变式训练1：(cos＋sin)＝ （ ）
A．－ B．－ C． D．
解：D
例2． 已知α为锐角，且，求的值.
解：∵α为锐角
∴＝
＝＝＝
变式训练2：化简：
解：原式＝＝1
例3．已知；
(1) 求的值； (2) 设，求sinα的值．
解：（1）∵
∴
（2）
∴
16sin22－4sinα－11＝0 解得
∵ 故
变式训练3：已知sin()＝，求cos()的值．
解：cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1
＝2sin2(－α) －1＝－
例4．已知sin2 2α＋2α cosα－cos2α＝1，α(0，)，求sinα、tanα的值．
解：由已知得
sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0
即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0
cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0
∵α∈(0，) cosα≠0 sinα≠－1
∴2sinα＝1 sinα＝ ∴tanα＝
变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．
解：∵α、β、r成公比为2的等比数列．
∴β＝2α，r＝4α
∵sinα、sinβ、sinr成等比数列
∴
即，解得cosα＝1或
当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去
当时，∵2∈[0,2π] ∴或
∴或
简单的三角恒等变换 （2009年11月22日）
例1： 不查表求值= ．

例2：已知

（1）求的值；
（2）求的值．
解析：（1）由, ， 　　
．
（2） 原式＝
．
【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.
例3. (福建省师大附中2008年高三上期期末考试)
设向量，若，，求的值。
【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.
解析:

【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换
、例4．(2007·四川 )已知<<<,
(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.
【解题思路】由同角关系求出再求；又结合角的范围定角。
[解析]（Ⅰ）由，得
∴，于是
（Ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：
,所以
【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
例题5：（08湖北卷16）
已知函数
（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；
（Ⅱ）求函数的值域.
本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）

　＝
（Ⅱ）由得
在上为减函数，在上为增函数，
又（当），
即
故g(x)的值域为
例6：:证明tan－tan＝
【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：＋＝2x，－＝x
－＝x ∴sinx＝sincos－cossin ①
又cosx＋cos2x＝2coscos ②
①÷②即得：
＝－＝tan－tan.
【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似.
例题7：.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.
(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(2) 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，且C为锐角，求sinA.
解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=
所以函数f(x)的最大值为,最小正周期.
（2）==－, 所以, 因为C为锐角, 所以,
又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以
.
【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.
例题8：(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2在处取最小值.
（1）求.的值;
（2）在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C..
解: （1）

因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以
（2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是,
因为,所以或.
当时,;当时,.
【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
解三角形 （2009年11月23日）

例题2：2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………………………②
由①，②解得。
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必

三角恒等变换和解三角形测试题
一、选择题
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
3. 在△ABC中，，则△ABC为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定
4. 设，，，
则大小关系（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数是（ ）
A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
6. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在△ABC中，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在△ABC中，角均为锐角，且
则△ABC的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
10. 等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，
则底边长为（ ）
A. B. C. D.
11. 在△中，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
12. 边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1. 求值：_____________.
2. 若则 .
3. 函数的最小正周期是___________.
4. 已知那么的值为 ,的值为 .
5. 的三个内角为、、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为 .
6. 在△ABC中，，则的最大值是_______________.
7. 在△ABC中，若_________.
8. 在△ABC中，若_________.
9. 在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________.
10. 在△ABC中，，则的最大值是________.
三、解答题
1. 已知求的值.

2. 若求的取值范围.

3. 求值：

4. 已知函数
（1）求取最大值时相应的的集合；

（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象.

5. 在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？

6. 在△ABC中，求证：

7. 在锐角△ABC中，求证：.

8. 在△ABC中，设求的值.

参考答案
一、选择题
1. D ，
2. D
3. C 为钝角
4. D ，，
5. C ，为奇函数，
6. B

7. C
8. A
9. C 都是锐角，则
10. D 作出图形
11. D 或
12. B 设中间角为，则为所求
二、填空题
1.

2.

3. ，
4.
5.

当，即时，得
6.
7.
8.
9. ∶∶∶∶∶∶，
令
10.

三、解答题
1. 解：

.
2. 解： 解：原式

3. 解：
（1）当，即时，取得最大值
为所求
（2）

4. 解：

或，得或
所以△ABC是直角三角形.
5. 解：∵∴，即，
∴，而∴，
∴

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