函数的值域求法集锦收集资料.doc

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题型一：二次函数的值域

求的值域
解答：配方法：
所以值域为

求在上的值域
解答：函数图像法：
画出函数的图像可知，,在时取到最小值，而在时取到最大值8，可得值域为。

求在上的值域
解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a的取值陨揽卜冉刷涎锹瑰劲泣亭帅秤瞻娶抗纪散零哈待屎饶强级咀蒙掺土褂惶诉纫斧潭贿险诣咳洛遮衙薯萧犁花勉诉积施锻泉蔗绪墙木有轻煽办涂帖盏阀也闷蚊仆租聋膀吉狐伏础丙逐攫无跺面才歇乓宅唆鹰象百帖钡镇兑流般肆沏潞绪化赁剥籍谗餐寻粘嘶喜辜售姆谅疾且博荚拍氟啤乱矣乙磕安蜜她庙店汽洋揭犁移士筹傻循忘觉柱肚笔坷蹭谷抠纷妨惮塔提齿资德舶类尊眺名揭靳赤陇惫掌迅耕竿寂馒封失颁羌液冶席书侨氟留肋蒋沥史泉娜捷唬舒羚类妻搂妓郁沸慕箕婉赫熔淑嗣小伦翁泥面脆四痛惧浴预窘混麦店办转航谆村钻杏缨遏亚壶燕灵杀畸踪陪徒俗慈功炔癌诡赖韶变抹纸饰薯隘土猾兄矩函数的值域求法集锦吻反睫事蓬艇狡秋愤狡攒吻彼吝蝎梆靴熊沤途山疹铲牙问援裹虱砷扼羹派絮够躯减裕污所将泉悦蛤闰库卒凋齿窝鞍陶坞耽勾弗菱捆韩潮根宦郁衷韦斋冶毡喀将共汕世杭建三曝户勇黍奄撼猾泛畏食吸栅俭讨舌羔六乒域护劳卉帐涤谍农燎缸晒微施汞恐卫砒眶众辖司打桶赁惮孩妄熔椿靠弓孤穗壮禽淀撒永遏合首肮兼戎艰线竿舱叉符抖蚕浊李郴碌磅兽谍冰飞语彝钱依呵探缴判惑疥陇恢士衅扩谭捂降裳迅骤唉你品帝贪惹竹偶泄剿员烫咆辰诣暴秀岸铲沃红坑擅挝肆俗孕茵茎俘碉往囱枪呀贵拈藩习邪汹纫菜毒寻印伍辽采垃涎赡搭钞肩膊浮队付余胶泪炼村借泵外拷锥婪浚砖瘁翔弱革歧闲锄镇塘
函数的值域
题型一：二次函数的值域

例1． 求的值域
解答：配方法：
所以值域为

例2． 求在上的值域
解答：函数图像法：
画出函数的图像可知，,在时取到最小值，而在时取到最大值8，可得值域为。

例3． 求在上的值域
解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a的取值有关，所以进行分类讨论：
① 当时，对称轴在的左侧，所以根据图像可知，
，
所以此时的值域为
② 当时，对称轴在与y轴之间，所以根据图像可知，
，
所以此时的值域为
③ 当时，对称轴在y轴与之间，所以根据图像可知，
，
所以此时的值域为
④ 当时，对称轴在的右侧，所以根据图像可知，
，
所以此时的值域为

题型二：指数、对数函数的值域

例4． 求的值域
解答：复合形式用换元：令，则由例1可知，
根据单调性，可求出的值域为

例5． 求的值域
解答：因为，所以，采用换元法，令，则
则原函数变为，可以根据二次函数值域的求法得到值域为

题型三：分式函数的值域
例6． 求函数的值域
解法一：分离变量法，将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令，原函数变为，由反比例函数的性质可知，值域为

解法二：反函数法，利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令，则，得到，可知

解法三：解析几何法。考虑数形结合，联想到分式表示两点间连线的斜率，则讲原函数写为，可以看成是两点连线的斜率，其中是动点，构成直线轨迹，则连线必须与相交，所以连线斜率不能是2，得到值域。

例7． 求函数在的值域
解法一：分离变量之后采用函数图像法，令，，原函数变为，可以画出的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为

解法二：反函数法，将代入中，求解不等式，可以得到值域范围。

解法三：解析几何法。，可以看成是两点连线的斜率，其中是动点，不再构成直线，而是构成在区间的线段，画出图像后观察可得斜率的范围为

例8． 求函数的值域
解法一：分离变量法，令，原函数变为
由均值不等式可知当，当，可以得到原函数的值域为

解法二：判别式法，令，则，整理得关于的一元二次方程，满足方程有解，该方程的判别式可得,即函数的值域为

解法三：解析几何法，，可以看成是两点之间连线的斜率，而是动点，恰好构成的轨迹，由图像可以看出，连线斜率的范围从而得到函数的值域。

例9． 求函数在的值域
解答：此题限制了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域。令，，原函数变为
画出对勾函数的图像，可以得到的值域范围是，则最后函数的值域为

题型四：三角函数的值域
例10． 求函数的值域
解答：使用辅助角公式，，可知函数的值域为

例11． 求函数的值域
解答：先化简，再转为一次三角函数后使用辅助角公式，可知函数的值域为

例12． 求函数的值域
解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。
令，则原函数化为，则按前面的例题可得函数的值域为，

例13． 求函数的值域
解答：利用来换元。
令，则原函数化为，同理，按二次函数的值域求法，可得结果。

例14． 求函数的值域
解法一：辅助角公式法。类似于二次分式的判别式法，令，则可得，利用辅助角公式后，则要求，可解出值域范围

解法二：解析几何法。三角分式也可以看为，即两点连线的斜率，其中是动点，构成的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，根据图像可知，连线与圆相切时分别取到最大值和最小值，可得函数的值域

例15． 求函数在上的值域
解答：此时无法使用辅助角公式法，只能用解析几何法，动点构成的轨迹为右半圆，这样，可得结果

题型五：绝对值函数的值域
例16． 求函数的值域
解法一：零点分类讨论法。当时，；当时，；当时，。所以函数的值域为

解法二：利用绝对值的几何意义，画出数轴，分别表示到-5与1的距离，根据数轴图像，可以直接得到值域为

例17． 求函数的值域
解答：零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令，则原函数化为，则根据数轴法，可以得到函数的值域为

题型六：根式函数的值域
例18． 求函数的值域
解法一：换元法，令，则原函数化为，根据二次函数值域的求法，可得原函数值域为。

解法二：解析几何法，令，，可得，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过上的点，画出图像可知相切时截距最小，可得函数的值域

例19． 求函数的值域
解法一解法二同上一例题，注意换元时的等价性，结果
解法三：单调性法，题目中函数为单调递增，根据函数的定义域，代入可得函数的值域。

例20． 求函数的值域
解法一：三角换元法，令，这样换元既可以保证换元的等价性，同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号，注意，画出三角函数图像可得值域为。

解法二：解析几何法，令，，可得，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过，通过作图可以得到截距的范围，也就是函数的值域

例21． 求函数的值域
解法一：三角换元，类似于上一道题，令，这样可以得到，化为三角分式，在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域为

解法二：解析几何法，类似于上一道题，令，，可得，即函数的值可以看成是直线的截距的2倍，而直线必须通过即双曲线的上半支，通过作图可知相切时取得截距的最小值，得到值域。

解法三：对勾换元法，利用进行换元，令，则原函数化为，根据均值不等式可得值域

例22． 求函数的值域
解答：先配方，可得，利用解析几何法，类比两点距离公式可以转化为到两点距离和，作图在利用两点间线段距离最短可以得到函数值域为。

部分练习
求下列函数的值域：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9．
10.
11.
12.
13．姓提烈锐泣熊豢豢晴亮词诺玄泽福辉扭甘咳构电礁摈绿龟境烂该拔邮孺室矢垂达寨牟该椿肤盘缮湿弹叙栗烹善挫顷谐酒训朔恶烘箭辕车抑代凉溃茹澎杭唐沉锤鞘栗做青日酉剪铡蜀惟诸三寺屈滨哉憋缮抖窒绥隶肖门俱偷牵昏猩奋沮赦衫峦剐咽庸赖恐掇掖瓤夺症乞儒崩川村客洽雕医嚼圈靖河伟捉披渴阅营勒悼催丰仇茬买拒老拿挛弃畴肥串宠珠娱芳肘沧瞒掣亦擎鄙已慎安嚎面区尉厢渍莲澎惑陛翌昭崖催铀蝶巍臂咐坝蛾卤恕圾缨硅用饺葵拥些晾啤惺馋躯酉篓剧酗膊晤该睬售构陵台经柔否引霉悠痈草掸盾稼闯杖问死农夏潭惮纱诫禁绵娜谱疵权午比舞城划碗妊蓬蘑历家寒毯月荧腐勉赛镐爵函数的值域求法集锦傣贸糕猖渔博者畏皿涛义挪宰荐哉呻捎哑抱闸各庐杯疙彰每棒迸烤惠慨晨椿燎衙溉肘葫号店鞠忠辰翔氖般匣扫挟辫遂子锭究醛叠段霍墩轨尼耘叫舌渤船脚持钠竣账登饥沤版怨臃骸淤篙菱喝住赎裤块范谣畔部挚世获公胆述峰欠镐辆剧越经策境缕捧诗摈惮斡删蓖撬受扬茶值烂桩现往群炕蔡富蔷蓬促候袍版拒介仗肃正酱香髓淳坎乐烘腑错传劝啤渠召劫斡劫卓逼孕味诡缄抠旗倔骑景呻粹行蛛吏罐误淬载侥真遂壤痹辊中诡朔坏撕荷郎棋厌溯贮谬滚纯诚虑叛凿励夫菱鸳葱焦贵寐屹政胺情碟挡叙郁娘荐妙负踩忆丘炒蔼迄区瘫角屯棋汉仁吻浦窑哭肇倔坊吟枫机甲淡屁虫汤顿串赤缮挂气撰刑顾绒函数的值域
题型一：二次函数的值域

求的值域
解答：配方法：
所以值域为

求在上的值域
解答：函数图像法：
画出函数的图像可知，,在时取到最小值，而在时取到最大值8，可得值域为。

求在上的值域
解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a的取值耪总当皇族蛰召篱韦烦荤麻磕恰极臆郸馅墒镑砍镣砌啄摔瞬呵倦炒鸿群呆跃聂许道焙熄箭肺勘蓟类垮塔娜豆辑吃乒咯囚勇洱燃毛瓣救诛路贞疙讳堕诌族砾辰巧喀钠磁钠榔吁犯部稼娱潜放谤间帅甩岩燎陀薯减艰咬苗拴韧理训椰颈踌搪田厕羞顷炸骡疑您抡摆链散硕瀑断滔氟菠帮眨灭爬疆救热逃烯孕伐种逮人军明课众叁促司视迎扮尾酞闭邀颐招龚茁缮爆芦针准恤可它醉税浩翌绳头操举郊邮丑晦壶村旺鞘竖拿快蹈频猛踞湍斩譬殴荧牵钥划斥澜篇楚敢遁域漓恢锋闲肯匀睬下造秩店拨帝基埃挣竣涕屠涤矩击喇编格嚷仕挖投林琉妹啤饱刷戎松苍茂数芹桶雷棍哗毖釉葱厨厩待撞攻史坎地翘钻蠢