实验次样条插值实验知识讲解.doc

实验次样条插值实验

精品文档
数值分析实验报告
姓 名
忘川
学 号
1205025106
系 别
数学系
班级
12级
主讲教师

指导教师

实验日期
2014/6/25
专业
信息与计算科学专业
课程名称
数值分析
同组实验者
无
一、实验名称：
实验四、三次样条插值实验
二、 实验目的：
1． 掌握三次样条插值的运用；
2． 了解拉格朗日插值在高次上的误差。
三、实验内容及要求：
给定函数节点
(1)编写三次样条程序求，取
(2)作原函数、Langrage插值函数和三次样条插值函数的图像，并比较它们的区别。
附：
算法描述：
三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）
PURPOSE: To find a piecewise cubic spline function
.
(,,… ).
where , and
,….
INPUT: interpolated points; clamped boundary condition.
OUTPUT:
Step 1 For

Step 2 By clamped boundary condition, Set
,,
Step 3 Solve tri-diagonal system

Step 4 Output . Stop
四、实验步骤（或记录）
(1)编写三次样条程序求，取
程序如下：
function [s,m]=selfspline(x0,y0,df,x,conds)
n=length(x0);
h=diff(x0);
b=ones(1,n)*2;
for j=2:n-1
a(j)=h(j-1)/(h(j-1)+h(j));
c(j)=h(j)/(h(j-1)+h(j));

d(j)=6*(h(j-1)*(y0(j+1)-y0(j))-h(j)*(y0(j)-y0(j-1)))/(h(j)*h(j-1)*(h(j)+h(j-1)));
end
a(1:n-2)=a(2:n-1);
switch conds
case 1
a(n-1)=1;
c(1)=1;
d(1)=6*((y0(2)-y0(1))/(x0(2)-x0(1))-df(1))/(x0(2)-x0(1));
d(n)=6*(df(2)-(y0(n)-y0(n-1))/(x0(n)-x0(n-1)))/(x0(n)-x0(n-1));
case 2
a(n-1)=0;
c(1)=0;
d(1)=2*df(1);
d(n)=2*df(2);
otherwise
error('conds值错误， conds只能为1或2')
end
for i=2:n
r=a(i-1)/b(i-1);
b(i)=b(i)-r*c(i-1);
d(i)=d(i)-r*d(i-1);
end
m(n)=d(n)/b(n);
for i=n-1:-1:1
m(i)=(d(i)-c(i)*m(i+1))/b(i);
end
for j=1:length(x)
for i=1:n-1
if x(j)>=x0(i)&x(j)<=x0(i+1)
s(j)=m(i)*(x0(i+1)-x(j))^3/(6*h(i))+m(i+1)*(x(j)-x0(i))^3/(6*h(i))+(y0(i)-m(i)*h(i)^2/6)*(x0(i+1)-x(j))/h(i)+(y0(i+1)-m(i+1)*h(i)^2/6)*(x(j)-x0(i))/h(i);
end
end
end

在matlab的命令窗口输入：
>> k=0:10;
>> x0=-5+k;
>> y0=1./(x.^2+1);
>> x=-5：0.5:5;
>> y=1./(x.^2+1);
>> df=diff(y)

得到如下数据：
df =
0.0086 0.0118 0.0166 0.0245 0.0379 0.0621 0.1077
0.1923 0.3000 0.2000 -0.2000 -0.3000 -0.1923 -0.1077
-0.0621 -0.0379 -0.0245 -0.0166 -0.0118 -0.0086

(2)作原函数、Langrage插值函数和三次样条插值函数的图像，并比较它们的区别。
先写拉格朗日插值的程序，如下：
function y=lagr1(x0,y0,x)
n=length(x0); m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
end

然后直接在matlab的命令窗口输入：
x0=[-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ];
y0=1./(x0.^2+1);
x=-5:0.01:5;
df=diff(y0);
conds=1;
y=selfspline(x0,y0,df,x,conds);
y1=1./(x.^2+1);
y2=lagr1(x0,y0,x);
plot(x,y1,'b',x,y,'y-',x,y2,'r:')
legend('原函数','三次样条插值','Lagrange插值')
即可得到以下图形：

(3) 分析结果：
根据图像可知，用拉格朗日插值函数进行插值时，在次数较高时会出现龙格现象，导致其值与原函数相差甚大，在一定范围内插值拟合效果不好，而三次样条插值函数可以很好地接近原函数且光滑性较好，是比较理想的插值函数。

五、教师评语（或成绩）

教师签字 ：
　　 　　 年 月 日

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