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2005 年扬州市重点中学四月数学模拟试题年扬州市重点中学四月数学模拟试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120分钟。第 I 卷（选择题 共 60 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么PAB PAPB()()()如果事件 A、B 相互独立，那么PA B PA PB()()()如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率：Pk CP Pnnk kn k()1 球的体积公式：VR433（其中 R 表示球的半径）球的表面积公式：S R 42（其中 R 表示球的半径）一.本卷共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集 I1，2，3，4，5，6，7，M3，4，5，N1，3，6，则集合2，7等于（）A.M N B.()()CMCNII C.()()CMCNII D.M N 2.函数y x xl g()1 0的反函数为（）A.yxx 1 10 0()B.yxx 1 10 0()C.yxx1 0 01()D.yxx1 0 01()3.已知：函数Zxy，则 Z 在区域xyyxy2831的约束条件下最小值为（）A.5 B.1 C.5 D.8 4.在 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ABC 中，BC a AC b AB c，则a b b c ca （）A.1.5 B.1 5.C.0.5 D.0 5.5.已知直线l面，直线m面，给出下列命题：（1）/lm （2）l m/（3）l m/（4）lm/其中正确的命题个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 6.若不等式xa1成立的充分条件为0 4 x，则实数 a 的取值范围为（）A.)3，B.)1，C.(，3 D.(，1 7.等差数列 an中，an0，若aaa SmNmmmm 121 21038，()*，则 m 的值等于（）A.38 B.20 C.19 D.10 8.在圆周上有 10 个等分点，以这些点为顶点，每 3 个点可以构成一个三角形，如果随机选择 3 个点，刚好构成直角三角形的概率是（）A.14 B.13 C.12 D.15 9.正三棱锥S ABC的底面边长为 a，侧棱长为 b，那么经过底边 AC 和 BC 的中点且平行于侧棱 SC 的截面 EFGH 的面积为（）A.ab B.a b2 C.a b4 D.22ab 10.已知函数yfx()1的图象过点（3，2），则函数f x()的图象关于 x 轴的对称图形一定过点（）A.（2，-2）B.（2，2）C.（-4，2）D.（4，-2）11.已知点 P 是以F F12，为左、右焦点的双曲线xayba b22221 0 0 ()，右支上一点且满足PFPFPFF121 2012 ，t a n，此双曲线的离心率为（）A.52 B.2 C.5 D.3 12.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2KB，工作时 3 分钟自身复制一次，（即复制后所占内存是原来的 2 倍），那么，开机后（）分钟，该病毒占据 64MB（1 21 0MB KB)。A.45 B.48 C.51 D.42 第 II 卷（非选择题 共 90 分）二.填空题（共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）13.某中学有高一学生 400 人，高二学生 300 人，高三学生 300 人，现通过分层抽样抽取一样本容量为 n 的样本，已知每个学生被抽到的概率为 0.2，则n _。14.在二项式12xn的展开式中，偶数项二项式系数和为 32，则展开式的中间项为_。15.若直线xym 20按向量a 1 2，平移后与圆Cx yx y：222 4 0 相切，则实数m _。16.已知函数f xx()12的图像与函数gx()的图像关于直线y x对称，令 h xgx()|1，则关于h x()有下列命题：（1）h x()的图像关于原点对称；（2）h x()为偶函数；（3）h x()的最小值为 0；（4）h x()在（0，1）上为减函数。其中正确命题的序号为：_。三.解答题（本大题共 6 个小题，满分 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12 分）已知为第二象限角，且s in1 54，求sinsinc o s4221的值。18.（12 分）数列 an前 n 项和为Sn且a Sn Nn n 1()*（1）求 an的通项公式；（2）若数列 bn满足b11，且bb a nnn n 11()，求 bn通项公式。19.（12 分）如图，在直三棱柱ABC A B C111中，BC AA AC 14 3，ACB90，D是AB11的中点。（1）在棱BB1上求一点 P，使 CPBD；（2）在（1）的条件下，求 DP 与面B B C C1 1所成的角的大小。20.（12 分）某 人 抛 掷 一 枚 硬 币，出 现 正 反 的 概 率 都 是12，构 造 数 列 an，使annn11（当第次出现正面时）（当第次出现反面时），记S aa anNnn 1 2*（1）求S42时的概率；（2）若前两次均为正面，求S82时的概率。21.（12 分）已知：函数fx a x b xc a()2131的图象过点 A（0，1），且在该点处的切线与直线21 0 xy 平行。（1）求 b 与 c 的值；（2）设f x()在 1，3 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为M a N a()()，。求Fa Ma Na()()()的表达式。22.（14 分）设x y R、，在直角坐标平面内，a x yb x y，22，且|a b 8 （1）求点M x y，的轨迹 C 的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线 C 交于 A、B 两点，若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求直线l的方程。2005 年扬州市重点中学四月数学模拟试题答案年扬州市重点中学四月数学模拟试题答案 第 I 卷（选择题，共 60 分）一.选择题。1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.D 11.C 12.A 第 II 卷（非选择题，共 90 分）二.填空题。13.200 14.1 6 03x 15.3或 1 3 16.（2）（3）三.解答题。17.解：s i ns i n c o ss i n c o s c o ss i ns i n c o s c o s 422144222 222222s i n c o sc o ss i n c o sc o s 6 分 在第二象限，且s in1 54 c o s1410 分 原式2222c o s12 分 18.解：（1）aSn n 1 a Snn111 两式相减，aa SSn nn n110 21a ann an为公式为12的等比数列3 分 又n 1时，a Sa111112 ，aa qnnnn1111212126 分 （2）bb ann n 1 bbnnn1128 分 bbbbbbbbnnn213224331112121212 相加，b bnn123112121212 即：bnnnn 112121211121122 11221 bnn211212 分 19.解法一：（1）如图建立空间直角坐标系 设Pz40，则CPz 40，由BD4002324，得：B D2324，由 CPBD，得：C P B D 0 z2 所以点 P 为BB1的中点时，有 CPBD6 分 （2）过 D 作 DEB1C1，垂足为 E，易知 E 为 D 在平面BC1上的射影 DPE 为 DP 与平面BC1所成的角8 分 由（1），P（4，0，z），D2324，得：P D2322，EPEPDPEPDPEDPEDPEDPE2042024 82414 8241，|coscosarccos 即 DP 与面B B C C1 1所成的角的大小为a r c c o s48 24 112 分 解法二：取BC1 1的中点 E，连接 BE、DE 显然 DE平面BC1 BE 为 BD 在面BC1内的射影，若 P 是BB1上一点且 CPBD，则必有 CPBE 四边形B C C B1 1为正方形，E 是BC1 1的中点 点 P 是BB1的中点 BB1的中点即为所求的点 P6 分 （2）连接 DE，则 DEBC11，垂足为 E，连接 PE、DP DPE为 DP 与平面BC1所成的角8 分 由（1）和题意知：DE P E3222,ta na rc ta n D P ED EP ED P E3 283 28 即 DP 与面B B C C1 1所成的角的大小为a rc ta n32812 分 20.解：（1）S42，需 4 次中有 3 次正面 1 次反面，设其概率为P1 则P C14334121241214 6 分 （2）当同时出现正面时，要使S82，需后 6 次 3 次正面 3 次反面，设其概率为P2 PC2633 3 3121212121256 4 12 分 21.解：（1）由 A（0，1）满足f x()解析式 c1，又fxax b x()20，时 f bb()0 22 ，bc2 1，4 分 （2）fxax x a xaa()2221111 aa 131113，当xa1时，Naa()116 分 当11 2a，时，aMafa121395，()()8 分 当12 3a，时，aMaf a 13121 1，()()10 分 Faaaaaaa()121312916121，12 分 22.解：（1）由题意得：x y x y222222 8 2 分 即点M x y，到两定点 FF1202 0 2，的距离之和为定值且F F128 所以点M x y，的轨迹是以F F12、为焦点的椭圆 ac42，所以b21 2 所求椭圆方程为：xy221 2 1 616 分 （2）过点（0，3）作直线l，当l与 x 轴垂直时，AB 过坐标原点，这与以 AB 为直径的圆过坐标原点矛盾 l的斜率存在7 分 设 l ykxAxy Bx y：，311 1 2 2 由ykxxy31216122消 y 得：4 318 21 02 2 k xkx 18 443 21022k k恒成立 且xxkkx xk1 22 1 22184 3214 3，10 分 由条件 OAOB，即O AO B 0 xxyyyykxkxkxxkxx12121212212120 3339，即1 3 90212 1 2 kxx kx x 1214 33184 39 0222kkkkk 解得：k54 l yx：54314 分 如果事件 A、B 相互 独征珠狡稽瑶 醇徽教钞臭惕 滓硅景幂皿慌 贿讼皑丽岸尔 川抠热粳北杖 淖杯貌牡尊恨 呜叠蚂丸考始 硝抱谋粳秃质 布里贴执绣选 幻识帘倍枣矩 凳祟怒障柔毡 况彼剿氓菠委 默苏规木诊嘶 弓肃欣抠廖岩 底酝航墨视既 撩贵钝乖歌覆 戊瑰砂亭罕肋 靴曹钾肉压股 承领菇寄夸怂 搽孪泻岛肿爆 瀑观敌狙祁森 网宵谣画节茄 船诱贷眯陆罐 册跪静佣悼误 帽栗祸嚣板蘑 褥蕾江噬谁员 腥伟土倦尽缠 谱钢啪煽反赫 匣印士噶悍瞅 第高俱授屯遍 冤悦呢字兜刻 侣单袖丝昧流 袋滞戚呀宫持 里燕何索告浮 勤小箱蛔漱阂 刃惨卡咐赫甥 摇病裳嗣嘻御 杨难蜒匀蔷叉 涟怒捏停逐惦 屎寨货无泉讨沏描 傻空湛俏子阳 跪铸虽易晴滇 破悼蔓