工程力学课程.doc

第8章 教学方案
——弯曲应力和强度计算

基
本
内
容

弯曲的概念和力学模型的简化
剪力和弯矩
纯弯曲时的正应力
横力弯曲时的正应力和强度计算

教
学
目
的

1、 了解梁弯曲的工程实例。
2、 纯熟掌握画剪力图和弯矩图。
3、掌握纯弯梁横截面上的正应力分布及计算。
4、纯熟掌握弯曲强度计算。

重
点
、
难
点

梁横截面上的正应力计算及梁的强度计算。

第8章 弯曲应力和强度计算
8.1 弯曲的概念和力学模型的简化
8.1.1 弯曲的工程实例

在工程实际中，通常把这种以弯曲变形为主的杆件叫做梁。
（1）简支梁：梁的端部一端用固定铰支座支承，另一端用可动铰支座支承，这样的梁称为简支梁。如图8.1（a）所示的行车大梁，轨道对两端车轮轮缘的约束作用可简化为一个固定铰支座、一个可动铰支座，因此可简化为简支梁，如图8.1（b）所示。
（2）外伸梁：支承与简支梁相同，但梁的一端或两端伸出支座以外，这样的梁称为外伸梁。图8.3（a）所示火车轮轴就可以简化为外伸梁，如图8.3（b）所示。
（3）悬臂梁：梁的一端是固定端，另一端是自由端的梁称为悬臂梁。如图8.2（a）所示塔罐就可以简化为图8.2（b）所示悬臂梁。
梁在两支座间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。常见的静定梁大多是单跨的。
8.1.2 弯曲的受力和变形特点
（a）
（b）
图8.3
F2
A
F1
B

受力特点：杆件承受作用在轴线所在平面内、且垂直于轴线的横向外力或外力偶的作用。
变形特点：杆的轴线在变形后由直线变成曲线，同时杆的各个横截面也发生了转动。
8.1.3 平面弯曲的概念
如图：梁的横截面都有一根纵向对称轴。整个杆件有一个包含轴线在内的纵向对称面。
梁变形后的轴线与外力在同一平面内

A
F1
F2
B
对称轴
纵向对称面
FB
图8.4

当外力（载荷与支座反力）都作用在该对称面内时，梁弯曲变形后，轴线仍保持在此对称平面内，成为一条平面曲线（图8.4），这种弯曲叫做对称弯曲。通常将梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合的弯曲变形称为平面弯曲。
8.2 剪力和弯矩
8.2.1 剪力和弯矩
在弯曲外力作用下，梁产生弯曲变形，横截面上的内力可以通过截面法求出来。
如图8.5（a）所示的简支梁，在外力作用下处在平衡状态。现假想在距左端为的m-m截面处，用一假想的垂直于梁轴线的平面将梁截为两段，取其中的任一段梁，例如取左段梁研究，并将右段梁对它的作用以截面上的内力来代替（图8.5（b））。
为使左段梁保持平衡，在其右端截面上，应当有两个内力：
图8.5
沿截面切线方向的力和力偶矩，力称为剪力，力偶矩称为弯矩。
1．剪力和弯矩的计算
上述梁在截面m-m上内力——剪力和弯矩的具体数值可由平衡条件求得，即
，
， (矩心O为截面m-m的形心)
可得，。
2．剪力、弯矩符号的规定
为了研究方便，现对梁的内力——剪力和弯矩作如下的正负号规定。
（1）剪力符号规定
取微段梁，若截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。如图8.6所示。
（2）弯矩符号规定
图8.7
图8.6
取微段梁，若截面上的弯矩使得梁呈凹形时，弯矩为正；使梁变成凸形时，弯矩为负。如图8.7所示。

在计算横截面上的剪力和弯矩时，一般先按正向假设，这样通过列平衡方程计算出的结果，其符号就与规定的符号一致，不需要再进行符号讨论。
8.2.2 剪力方程和弯矩方程
假设梁截面位置用沿梁轴线的坐标表达，则梁的各个横截面上的剪力和弯矩都可以表达为坐标的函数，即：
，
通常把它们叫做梁的剪力方程和弯矩方程。
8.2.3 剪力图和弯矩图
为了表白内力沿梁轴线的变化情况，通常用图形将剪力和弯矩沿梁长的变化情况表达出来，这样的图形分别称为剪力图和弯矩图。
基本作法：先列出剪力方程和弯矩方程，建立以梁横截面位置x为横坐标，以横截面上的剪力和弯矩为纵坐标的坐标系，然后通过方程绘出表达或的图线。
x
x
l

A

B

FA
FB
FQ
M
q

（－）
（+）
（+）
（a）
（b）
（c）
图8.10
【例8-1】 图8.10（a）所示的简支梁，在全梁上受集度为的均布载荷作用，试作梁的剪力图和弯矩图。
解：求此梁的内力图时，应先求支座反力、列内力方程，最后由内力方程作内力图。
（1）求支座反力
运用平衡方程求得

（2）建立内力方程
取距左端为的任意横截面，考虑截面左侧的梁段，则梁的剪力和弯矩方程分别为
（0＜＜）

（0≤≤）

（3）画内力图
剪力方程是的一次函数，所以剪力图是一条倾斜直线段。由，可画出剪力图（图8.10（b））。
弯矩方程是的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线。由，，可画出弯矩图（图8.10（c））。
x
B
F
a
b
C
l
A
（+）
（+）
（－）
FQ
M
x
（a）
（b）
（c）
图8.11
【例8-2】 图8.11（a）所示的简支梁，在C点处受集中力F的作用，试作梁的剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力
运用平衡方程求得
，
（2）建立内力方程
由于梁在C点处有集中力的作用，则在集中力两侧的梁段，其剪力和弯矩方程均不相同，因此，内力在全梁范围内不能用一个统一的函数式来表达。必须以C为界，将梁分为AC和CB两段，分别写出其剪力方程和弯矩方程。
对AC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为

对AC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为

（3）画内力图
由两段梁的剪力方程可知，两段梁的剪力图各为一条平行于梁轴线的直线段。由两段梁的弯矩方程可知，两段梁的弯矩图各为一条斜直线段。绘出的剪力图和弯矩图如图8.11（b）、（c）所示。
【例8-3】图8.12（a）所示的简支梁，在C点处受集中力偶的作用，试作梁的剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力
运用平衡方程求得
，
（2）建立内力方程
B
Me
a
b
C
l
A
（－）
FQ
（+）
（－）
M
x
（a）
（b）
（c）
x
图8.12
剪力方程无需分段，

弯矩方程分两段，对AC段梁，弯矩方程为

对CB段梁，弯矩方程为

（3）画内力图
梁的剪力方程是一个常量，因此剪力图是一条平行与梁轴线的直线段，如图8.12（b）。
由于两段梁的弯矩方程都是的一次函数，所以两段梁的弯矩图各为一条斜直线段，如图8.12（c）。
综上例题可知：
（1）在集中力作用处剪力图发生突变，并且此突变值等于集中力的大小。
（2）在集中力偶作用处，弯矩图发生突变，并且突变值的大小等于集中力偶值。

8.3 纯弯曲时的正应力
8.3.1 纯弯曲的概念
如图8.14（a）所示的矩形截面简支梁，在对称载荷F作用下，其剪力图和弯矩图如图8.14（b）和（c）所示。可以看出，在梁的CD段内，剪力为零，弯矩为常数，这种情况称为纯弯曲；而梁的AC、DB段既有剪力又有弯矩，称为横力弯曲或剪切弯曲。

FQ
F
（b）

（+）

M
（+）
Fa
Fa
F
（－）

（c）

图8.14 图8.15
8.3.2 纯弯曲实验及假设
1、实验现象及变形特点
以图8.15（a）所示的矩形截面梁为例，通过实验观测知其变形特点如下：
（1）变形前与纵向线垂直的横向线在变形后仍为直线，并且仍然与变形后的纵向线保持垂直，但相对转过一个角度；
（2）变形前互相平行的纵向直线，变形后均变为圆弧线，并且上部的纵向线缩短，下部的纵向线伸长；
2、假设
平面假设——梁的横截面在梁弯曲后仍然保持为平面，并且仍然与变形后的梁轴线保持垂直。
单向受力假设——梁的纵向纤维处在单向受力状态，且纵向纤维之间的互相挤压作用可忽略不计。
梁变形后，在凸边的纵向纤维伸长，而在凹边的纵向纤维缩短。由梁的变形的连续性，可知在梁中一定有一层纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层。中性层与梁横截面的交线称为中性轴。
8.3.3 纯弯曲时横截面上的正应力
1．几何方面
如图8.16（a）所示，假设用两横截面m-n和p-q在梁上截出一长为的微段。梁在发生纯弯曲变形后，微段的左右截面将有一个微小的相对转动，中性层和截面中性轴如图8.16（b）所示。假设微段两端截面间的相对转角为（图8.16（c）），表达微段中性层的曲率半径，则弧线的长度为。
图8.16

距中性层为处的纵向纤维原长为，变形后的长度为，所以其伸长，相应的线应变为：
（a）
2．物理方面
根据单向受力假设可知，在弹性范围内应力与应变的关系满足弹性胡克定律，
（b）
此式表白，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，并且在坐标相同的各点处正应力相等，如图8.17所示。
图8.17

3．静力学方面
由图8.17可以看出，梁横截面各微面积上的微内力构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果为以下三个内力分量
，，
纯弯曲梁横截面上只有弯矩作用，所以有
（c）
（d）
（e）
将（b）代入以上三式，并结合截面的几何性质可得
（f）
（g）
（h）
由（f）可得，即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。亦即中性轴必通过横截面的形心，这就拟定了中性轴的位置。
由式（g）可得，即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的形心主轴。对上述矩形横截面，（g）式是自动满足的。
最后由式（h）可得
（8-1）
是梁横截面对中性轴的惯性矩。
表白梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的弯曲刚度。
将（8-1）式代入（b）式整理，可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式
（8-2）
由公式可知，梁横截面上任一点的正应力，与截面上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，与截面对中性轴的惯性矩成反比。虽然该公式是通过矩形截面梁在纯弯曲的情况下推导出来的，但也合用于具有纵向对称面的其它对称截面梁的纯弯曲情况，如工字型、T字型、槽型截面梁等。
应用公式（8-2）计算梁横截面上任一点的正应力时，可将和的绝对值代入，计算出正应力。其正负号，可由横截面的受拉压区（拉压区由弯矩方向拟定）直接判断，若点在受拉区为拉应力，在受压区为压应力。拉应力为正，压应力为负。

8.4 横力弯曲时的正应力和强度计算
8.4.1 横截面上的应力特点和正应力计算公式
式（8-2）是在纯弯曲的情况下推导出来的，而工程实际中的梁，大多发生的都是横力弯曲。在这种情况下，梁横截面上不仅有弯矩并且有剪力。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力的分布规律影响很小，此时横截面上的正应力的变化规律与纯弯曲时几乎相同。对于工程实际中常用的梁，当梁的跨度比较大时，应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力，所得的结果足以满足工程中的精度规定。
【例8-4】 如图8.18所示，长为的矩形截面梁，在自由端作用一集中力，截面尺寸为，，C截面距B端的距离。求C截面上K点的正应力，K点距中性轴z的距离。

解：先求出C截面上弯矩

截面对中性轴的惯性矩

考虑到K点在截面受拉区，K点的正应力为拉应力。由弯曲正应力计算公式得

8.4.2 弯曲正应力强度条件
为了保证梁能安全工作，必须使梁横截面上的最大正应力不超过材料的许用应力。因此，梁的正应力强度条件为：
（8-3）
式中叫做抗弯截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。
对矩形截面， ； 对实心圆形截面，
对各种型钢截面，抗弯截面系数可以在型钢表中查得（见附录）。
8.4.3 抗拉和抗压强度不同材料的弯曲强度计算
对于抗拉和抗压强度不同的材料（如铸铁），由于其许用拉应力和许用压应力不相等，则规定梁横截面上的最大拉压应力分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力。此时应分别求出最大拉应力和最大压应力进行强度计算。分别列出抗拉强度条件和抗压强度条件：
， （8-4）
8.4.4 三种强度计算问题
根据强度条件，可以求解与梁强度有关的三种问题：
（1）强度校核，即已知梁的结构尺寸和载荷，拟定梁是否满足。
（2）截面设计，即已知梁的结构和载荷，设计梁的截面参数。此时应将式（8-3）
改写为：
（3）拟定梁的许可载荷，即已知梁的结构尺寸和载荷形式，拟定梁所能承受的最大外载荷。此时应将式（8-3）改写为：
【例8-5】图8-19所示简支梁，，，。选择工字钢型号。 P
B
l/2
l/2
A
图8.19

解：（1）求梁上的最大弯矩
根据受力情况可得，梁的最大弯矩为

（2）强度计算
由强度条件可得

查附录型钢表，应选22a工字钢，，。
【例8-6】 图8.20（a）所示槽形截面铸铁梁，已知：，截面对中性轴的惯性矩，铸铁的许用拉应力 ，许用压应力，试求梁的许可荷载[F ]。
解：（1）画弯矩图，拟定危险截面
由静力平衡方程求出梁的支反力为
画梁的弯矩图如图8.20（b）所示。

86
134
y
20
40
120
20
O
形心
z
180
Fb/2
Fb/4
（+）
（—）
（a）
B截面
压应力
拉应力
压应力
拉应力
（b） （c）
图8.20
B
F
C
b
D
b
b
A
q=F/b

最大正弯矩发生在C截面，
最大负弯矩发生在B截面 ，
（2）计算最大拉、压正应力
考虑截面B：
由
可得
由
可得
考虑截面C：
由
可得
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制，