上海高考文科数学试题详解.doc

2014年普通高等学校招生统一考试上海市
数学试题（文科）详解
满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的最小正周期是 ．
考点：三角恒等变形、三角函数的周期
解答：因为，所以.
难度：容易题
2．若复数,其中是虚数单位，则 ．
考点:复数的四则运算，共轭运算
解答:此题先根据分配律去括号可简化计算,即
难度：容易题
3．设常数，函数．若，则 ．
考点：解方程、求函数值
解答：由
难度：容易题
4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．
考点:圆锥曲线的标准方程
解答：知抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为：
难度：容易题
5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为 ．
考点：分层抽样
解答：高一、高二共有学生2800名,按40：1的比例，需抽取学生数为70人.
难度：容易题
6．若实数满足，则的最小值为 ．
考点：基本不等式
解答：，即
难度：容易题
7．若圆锥的侧面积是底面积的倍,则其母线与轴所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示)．
考点：圆锥的侧面展开图
解答：如图:
难度：容易题
8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．
考点:三视图
解答：由三视图知,切割掉的两个小长方体可拼成一个
长宽高分别为4、3、2的长方体,所以其体积为24.
难度：容易题
9．设 若是的最小值,则的取值范围为 ．
考点:函数的单调性及最值
解答：
难度:中等题
10．设无穷等比数列的公比为，若，则 ．
考点:无穷等比数列各项的和
解答:
难度:中等题
11．若，则满足的的取值范围是 ．
考点：幂函数的单调性
解答:∴其定义域为
又是增函数，是减函数,是增函数，
又，，即为，
难度：中等题
12．方程在区间上的所有的解的和等于 ．
考点：三角方程
解答：
难度：中等题
13．为强化安全意识,某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）．
考点：组合、概率
解答:未来的连续天中随机选择天的所有情况有种；未来的连续天中选择的天恰好为连续天的所有情况有种；则所求概率为
难度:中等题
14．已知曲线，直线．若对于点,存在上的点和上的使得，则的取值范围为 ．
考点：圆的方程、能成立问题
解答:∵曲线,即,∵,∴点即为中点；设，∵,则，
∵点在曲线C上,∴
难度：较难题
二、选择题（本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设，则“”是“且”的（ ）
（A) 充分非必要条件 (B） 必要非充分条件
(C) 充分必要条件 (D） 既非充分又非必要条件
考点：充分条件、必要条件
解答：必要非充分条件,选B
难度:容易题
16．已知互异的复数满足，集合，则（ ）
(A） (B） （C) （D)
考点：集合的相等、复数范围内1的立方根
解答：⑴若 则（舍）；⑵若则,
那么（舍)或（舍）或或
综合上述，.选D
难度：中等题
17．如图,四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ）
(A） （B） （C） (D）
考点：向量的数量积、向量的投影
解答:结合图形，观察在上的投影即可：在上的投影相同;在上的投影相同；在上的投影相同；故的不同值的个数为3，选C
难度：中等题
18．已知与是直线（为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ )
（A） 无论如何，总是无解 (B） 无论如何，总有唯一解
（C) 存在，使之恰有两解 （D） 存在,使之有无穷多解
考点:直线的方程、二元一次方程的行列式解法
解答:把代入直线得，即。
同理可得。则是方程组的解。
若不是方程组的唯一解,
则方程组 有无数解则，与已知矛盾
综上，方程组总有唯一解，选B。
难度：较难题
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积．
考点:棱锥的体积、空间想象能力
解答：依题意：是边长为4的正三角形,折叠后是棱长为2的正四面体（如图）。
设顶点在底面内的投影为,连接，则
为的重心，底面.
难度:容易题
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分,第2小题满分8分．
设常数,函数．
（1） 若,求函数的反函数;
（2） 根据的不同取值,讨论函数的奇偶性，并说明理由．
考点：反函数、函数的奇偶性
解答:（1）因为，所以,得或，且．
因此，所求反函数为．
（2）①当时，,定义域为，故函数是偶函数;
②当时，，定义域为，
，故函数为奇函数；
③当且时，定义域为关于原点不对称,
故函数既不是奇函数，也不是偶函数．
难度:容易题
21．(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分,第2小题满分8分．
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端,长35米，长80米．设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为．
（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少(结果精确到0.01米）?
（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，求的长(结果精确到0。01米）．
考点：解斜三角形
解答:（1)设，则.因,所以,即,（米）
（2）在中，由已知，，，
由正弦定理得 ，解得（米)．
在中，由余弦定理得， 解得（米）．所以，的长约为26.93米．
难度:中等题
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分,第3小题满分7分．
在平面直角坐标系中，对于直线和点，记
．若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分隔,则称直线为曲线的一条分隔线．
(1）求证；点被直线分隔；
（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
（3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线．求的方程，并证明轴为曲线的分隔线．
考点：定义法求曲线方程、数形结合思想
解答：
（1）证明：因为，所以点被直线分隔．
（2）解：直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解,即．当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔．故实数的取值范围是．
（3）证明:设的坐标为,则曲线的方程为．
对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点．
又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔．所以轴为曲线的分隔线．
难度：中等题
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分,第2小题满分6分，第3小题满分9分．
已知数列满足,，．
(1）若，求的取值范围;
(2）设是等比数列，且,求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比;
（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．
考点：等差数列、等比数列与不等式综合
解答：
（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．
（2)设的公比为．由,且，得．
因为，所以．从而,，解得．
时，．所以，的最小值为,时,的公比为．
（3)设数列的公差为．由,得，．
①当时，，所以，即．
②当时，,符合条件．
③ 当时，，所以，，又，所以．
综上，的公差的取值范围为．
难度:较难题