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柯西不等式各种形式的证明及其应用

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柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式是由大数学家柯西()在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明
二维形式
在一般形式中，

等号成立条件：
扩展：
等号成立条件：
二维形式的证明：

三角形式

三角形式的证明：

向量形式

向量形式的证明：

一般形式

一般形式的证明：

证明：

推广形式(卡尔松不等式)：
卡尔松不等式表述为：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素
之积的几何平均之和。

或者：

或者

推广形式的证明：
推广形式证法一：

或者

推广形式证法二：

事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证，
这个不等式并不难，可以简单证明如下：

付：柯西（）不等式相关证明方法：

等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：
证明1：构造二次函数
=

恒成立

即
当且仅当 即时等号成立
证明（2）数学归纳法
（1）当时 左式= 右式=
显然 左式=右式
当 时， 右式 右式
仅当即 即时等号成立
故时 不等式成立
（2）假设时，不等式成立
即
当 ，k为常数， 或时等号成立
设

则

当 ，k为常数， 或时等号成立
即 时不等式成立
综合（1）（2）可知不等式成立
二、柯西不等式的应用
1、巧拆常数证不等式
例1：设a、b、c为正数且互不相等。求证：
. 均为正数　
　　为证结论正确，只需证： 　
又

又互不相等，所以不能取等
原不等式成立，证毕。
2、求某些特殊函数最值
例2：
函数的定义域为[5，9],

3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。
已知点及直线
设点p是直线上的任意一点， 则
（1）
（2）
点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有

由（1）（2）得：
即
（3）
当且仅当
（3）式取等号 即点到直线的距离公式
即

4、 证明不等式
例 3已知正数满足 证明
证明：利用柯西不等式

又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：

故
5、 解三角形的相关问题
例 4设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明
证明：由柯西不等式得，

记为的面积，则

故不等式成立。
6、 求最值
例5已知实数满足， 试求的最值
解：由柯西不等式得，有

即
由条件可得，
解得，当且仅当 时等号成立，
代入时，
时
7、利用柯西不等式解方程
例6在实数集内解方程

解：由柯西不等式，得
①

又

即不等式①中只有等号成立
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

它与联立，可得

8、用柯西不等式解释样本线性相关系数
在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。
现记，，则，
，由柯西不等式有，
当时，
此时，，为常数。点 均在直线
上，
当时，
即
而

为常数。
此时，此时，，为常数
点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大
当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。
9、关于不等式的几何背景
几何背景：如图，在三角形中，，
则 Q（c，d）
O P（a，b）
将以上三式代入余弦定理，并化简，可得
或
因为，所以，，
于是
.
柯西不等式的相关内容简介
（1） 赫尔德()不等式

当时，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。
（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）
可以借助其二维形式来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。
该不等式的一般形式
称为闵可夫斯基（）不等式。它是由闵可夫斯基在对n维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点，定义其距离为
.
闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。

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