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常微分方程模拟试卷1

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填空题
1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ ）。有只含的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）
1、

２、

３、若试求方程组的解并求expAt

４、
５、求方程经过（0，0）的第三次近似解

6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三、证明题（１０％）
１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。
试卷答案
一填空题
１、　　　　
２、　　　 　　　　　
３、 　　　　　　　
４、
５、
６、　
７、零　　　　　　稳定中心
二计算题
１、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得
所以解为
即另外y=0也是解
２、线性方程的特征方程故特征根
是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0
所以原方程的解为
３、解：解得此时 k=1

由公式expAt= 得

４、解：方程可化为令则有（*）
（*）两边对y求导：
即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为：p为参数
又由得代入（*）得：也是方程的解
５、解：
６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则
因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）
由得故（3，-2）为稳定焦点。
三、    证明题
由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：

考虑
从而是线性无关的。
常微分方程期终试卷(2)

一、填空题 30%
1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。
2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n
3、 如果存在常数_____________对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、 形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里
5、 设的某一解，则它的任一解_____________-。
二、 计算题40%
1、 求方程
2、 求方程的通解。
3、 求方程的隐式解。
4、 求方程

三、 证明题30%
1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.

《常微分方程》期终试卷答卷
一、 填空题（每空5分）
1 2、 z=
3
4、
5、
二、 计算题（每题10分）
1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得
代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=
带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。
此外方程还有解y=0.
2、
解：

积分：
故通解为：
3、
解：齐线性方程的特征方程为，
，故通解为
不是特征根，所以方程有形如
把代回原方程

于是原方程通解为
4、
解

三、证明题（每题15分）
1、证明：令的第一列为(t)=,这时(t)==(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。
2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。
（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)

常微分方程期终试卷(3)
一 . 解下列方程(10%*8=80%)
1. 1.    2xylnydx+{+}dy=0
2. =6-x
3. =2
4. x=+y
5. 5.    tgydx-ctydy=0
6. 6.    {y-x(+)}dx-xdy=0

7．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。

8. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

二． 证明题(10%*2=20%)
9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。
10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。

试题答案：
1. 解：=2xlny+2x , =2x,则 ==,故方
程有积分因子==，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程. d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。
2. 解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=得
=z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=
代回原来的变量y得方程解为=；y=0.

3. 解：令x=u+3, y=v2, 可将原方程变为=，
再令z=，得到z+=，即=，
分离变量并两端积分得=+lnC
即ln+2arctgz=+lnC，
ln=2arctgz+lnC 代回原变量得v=C
所以，原方程的解为y+2=C.

4. 解：将方程改写为 =+ （*） 令u=,得到x=x+ u,则(*)变为x =, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解为arcsin=lnCx。

5. 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1…) ，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。

6. 解：ydx-xdy-x(+)dx=0,两边同除以+得
xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解为arctg=C。

7． 解：因为F=ma=m，又F==，
即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，
解得v=+(t).
8． 解：令f(x)=y，=，两边求导得=y，
即=y，即=dx，两边求积得=2x+C，
从而y=，故f(x)= .

9. 证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为
x+y=nM，x+y=nN，故有
=

=
==0.
故命题成立。

10. 解：1）先找到一个特解y=。
2）令y=+z，化为n=2的伯努利方程。
证明：因为y=为方程的解，
所以=P(x)+Q(x)+R(x) (1)
令y=+z，则有
+= P(x)+Q(x)+R(x) (2)
(2)(1)得= P(x)+Q(x)z
即=[2P(x)+Q(x)]z+P(x)
此为n=2的伯努利方程。

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