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鸡兔同笼问题解法及例题透析

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鸡兔同笼问题解法及例题透析
【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
　　【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
　　假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
　　假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
　　第二鸡兔同笼问题：
　　假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
　　假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
　　【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
　　例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
　　解假设35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
　　兔数＝35－23＝12（只）
　　也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
　　鸡数＝35－12＝23（只）　　答：有鸡23只，有兔12只。
　　例22亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？
　　解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
　　白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）　　答：白菜地有10亩。
　　例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？
　　解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有
　　作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
　　日记本数＝45－15＝30（本）
　　例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
　　解假设100只全都是鸡，则有
　　兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
　　鸡数＝100－20＝80（只）
　　答：有鸡80只，有兔20只。
　　例5有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？
　　解假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
　　共有大和尚100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

鸡兔同笼问题例题透析1
　1、有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
　　解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是 　　244÷2=122（只）.
　　在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数 　　122-88=34，
　　有34只兔子.当然鸡就有54只. 　　答：有兔子34只，鸡54只.
　　上面的计算，可以归结为下面算式： 　　总脚数÷2-总头数=兔子数.
　　上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.
　　还说此题.　如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了　　88×4-244=108（只）.
　　每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡　　（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）.
　　说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
　　鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）.
　　每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，　　68÷2=34（只）.
　　说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式
　　兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
　　上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.
　　假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.
鸡兔同笼问题例题透析2
红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？
　　解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.
　　现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有
　　蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）
　　=24÷8
　　=3（支）.
　　红笔数=16-3=13（支）.
　　答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
　　对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是
　　8×（11+19）=240.
　　比280少40.
　　40÷（19-11）=5.
　　就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.
　　30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.
　　实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数
　　19×10+11×6=256.
　　比280少24.
　　24÷（19-11）=3，
　　就知道设想6只“鸡”，要少3只.
　　要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.
鸡兔同笼问题例题透析3
　　一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？
　　解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.
　　现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.
　　根据前面的公式 　　“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）　　=4.5，
　　“鸡”数=7-4.5　　=2.5，
　　也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时. 　　答：甲打字用了4小时30分.
小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣2分，又知道他做错的题和没做的一样多．问小毛做对几道题？>>

分析：解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，这道题用两次假设．①假设做错的和没做的一样多，就假定这两种情况都倒扣（1分）；②假设20道题全做对，与题中给出得64分相比较，看差多少，对错每道差（5+1）分，将所差的分数除以（5+1），就可求没做或做错的数．

　　解答：解：因为做错的和没做的一样多，就假定这两种情况都倒扣（1分）．

　　所以没做或做错的有：

　　（5×20-64）÷（5+1）

　　=（100-64）÷6

　　=36÷6

　　=6（道）

　　做对的有：

　　20-6=14（道）．

　　故答案为：14

　　点评：正确处理好总差和一道的差．

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