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博弈答案

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1.阐述什么是囚徒困境。对于个人理性与集体理性的矛盾，新古典经济学与博弈论有什么不同的主张？
答：两个共谋犯罪的人被关入监狱，不能互相沟通情况。如果两个人都不揭发对方，则由于证据不确定，每个人都坐牢一年；若一人揭发，而另一人沉默，则揭发者因为立功而立即获释，沉默者因不合作而入狱十年；若互相揭发，则因证据确实，二者都判刑八年。由于囚徒无法信任对方，因此倾向于互相揭发，而不是同守沉默。新古典经济学认为个人或者集体的矛盾可以通关过价格解决，博弈论强调个人理性和集体理性是冲突的，设计一种制度解决。
2. 社会福利博弈
流浪汉
寻找工作 游荡
3，2
-1，3
-1，1
0，0

救 济
政府 不救济

答：假设政府的混合战略为（即以θ的概率选择救济，以1-θ 的概率选择不救济），流浪汉的混合战略为（以γ的概率选择工作，以1-γ的概率选择游荡）。
那么政府的期望效用为

求导，令其为0，求出
即流浪汉以0.2的概率寻找工作，以0.8的概率游荡。
为了寻找政府的混合战略，考虑浪浪汉的最优化问题。给定

流浪汉的期望效用为

求导，令其为0，得到
政府以0.5的概率救济，以0.5的概率不救济。
3下面的两人博弈可以解释为两个寡头企业的价格竞争博弈，其中p是企业1的价格，q是企业2的价格。企业1的利润函数是：
π1=-(p-aq+c)2+q企业2的利润函数是： π2=-(q-b)2+p
求解： (1) 两个企业同时决策时的(纯战略)纳什均衡
(2) 企业1先决策时的子博弈精炼纳什均衡
(3) 企业2先决策时的子博弈精炼纳什均衡
(4) 是否存在某些参数值(a,b,c)，使得每一个企业都希望自己先决策？
解: (1) 根据两个企业的利润函数，得各自的反应函数为：

求解得纳什均衡：
(2) 企业1先决策
根据逆推归纳法，先求企业2的反应函数

代入企业1的利润函数，得

再求企业1的反应函数，得

(3) 企业2先决策
根据逆推归纳法，先求企业1的反应函数

代入企业2的利润函数得
再求企业2的反应函数，得

再代入企业1的反应函数，得
(4) 因为只有先决策的利润大于后决策的利润时企业才希望先决策，因此

得两个企业都希望先决策的条件为

4.长度为1的线性城市，消费者在[0，1]上均匀分布，分布密度为1。两个商店，位于城市的两端，商店1在 =0，商店2在 =1，它们出售性能同的产品。每个商店提供单位产品的成本为C。消费者购买商品的旅行成本与离商店的距离成正比，单位距离成本为t。
商店1
商店2
0
X
1

这样，x处的消费者在商店1购买的旅行成本为tx，在商店2购买的旅行成本为t(1-x).假定两个商店同时选择价格，且所有消费者都购买一个单位的产品。令pi为商店i的价格，为需求函数，i=1,2 。
如果x处的消费者在两个商店购买无差异，那么所有x 左边的消费者都将在商店1购买，而x 右边的消费者都在商店2购买。需求函数分别为 , x应满足（由 x的定义）
因此求出

利润函数分别为：

每个商店都选择 使自己的利润最大（给定对方价格），从而

且易知二阶条件满足（最大值存在），解上述方程，得
，均衡利润为
5破釜沉舟问题：
答：如果参与人能在博弈之前采取某种措施改变自己的行动空间或支付函数，原来不可置信的威胁就可能变成可置信，博弈的均衡就会被精炼。我们把这种改变博弈结果而采取的为承诺行动。比如，战争中将军过河拆桥以示绝不撤退的决心。桥一旦被拆，撤退就没有可能，只能拼死来战
6.(伯川德博弈)假定两个寡头企业之间进行价格竞争(而不是产量竞争)，两个企业生产的产品是完全替代的，并且单位生产成本相同且不变，企业1的价格为p1，企业2的价格为p2。如果p1<p2，企业1的市场需求函数是q1=a-p1，企业2的需求函数为0；如果p1>p2，企业1的需求函数为0，企业2的需求函数为q2=a-p2；如果p1=p2=p，市场需求在两个企业之间平分，即qi=(a-p)/2，什么是纳什均衡价格？
解：假设单位成本为c。
企业i的需求函数为

从上述需求函数可以看出，企业i绝不会将其价格定的高于企业j。由于对称性，可知博弈的均衡结果必然是两企业的价格相同，即p1=p2。如果pi>c，企业i的利润πi=qi(pi-c)=(pi-c)(a-pi)/2>0。因此，只要企业i将其价格略微降低一点点ε(ε→0)，则可获得整个市场的需求，利润为(pi-ε-c)(a-pi)>(pi-c)(a-pi)/2。另一企业也会采取相同的战略，直到其利润为0。此时均衡的结果为p1=p2=c。
7.(产品有差异时的价格竞争)现在假定两个企业的成本并不完全相同，企业1的需求函数为q1(p1,p2)=a-p1+p2，业2的需求函数是q2(p1,p2)=a-p2+p1。求两个企业同时选择价格时的纳什均衡。
答：两企业的利润函数分别为

求各自价格的一阶偏导数，令其等于0，得：

分别得到两个企业的反应函数：

求解方程得：

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