2021高考数学专题辅导与训练配套练习：解答题规范训练(三)数列.docx

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解答题规范训练(三)
数　　列
(建议用时:45分钟)
1.在数列中,a1=3,an=2an-1+n-2(n≥2,且n∈N*).
(1)求a2,a3的值.
(2)证明:数列是等比数列,并求的通项公式.
(3)求数列的前n项和Sn.
【解析】(1)令n=2,a2=2a1=6,
令n=3,a3=2a2+1=13.
(2)==2,
所以数列{an+n}是首项为4,公比为2的等比数列,
an+n=4·2n-1,所以an=2n+1-n.
(3)由于数列{an}的通项公式an=2n+1-n,
Sn=(22+23+…+2n+1)-(1+2+…+n)
=-=2n+2-.
【加固训练】已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(n∈N*),数列{bn}的前n项和Sn=12-12(n∈N*).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)设cn=,是否存在m∈N*,使cm≥9成立?并说明理由.
【解析】(1)由an+1==+2,
所以=1+2(n-1)=2n-1,an=(n∈N*).
由Sn=12-12及Sn-1=12-12(n≥2),
可得bn=Sn-Sn-1=4(n≥2),
令n=1,则b1=S1=12-12×=4也满足上式,
所以bn=4(n∈N*).
(2)cn==(2n-1)·4
=4(2n-1),
设cm为数列{cn}中的最大项,则

所以m=3.
即c3为{cn}中的最大项.
由于c3=20=<9,
所以不存在m∈N*,使cm≥9成立.
2.(2022·温州模拟)设是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足:+=+,S7=7.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前n项和Tn.
(3)试求全部的正整数m,使得为数列中的项.
【解析】(1)设公差为d,
则-=-,
由性质得-3d(a4+a3)=d(a4+a3).
由于d≠0,所以a4+a3=0,
即2a1+5d=0①.
又由S7=7得7a1+d=7,
即a1+3d=1②.
联立①②解得a1=-5,d=2,
所以an=2n-7(n∈N*).
(2)由(1)知,当n≤3时,an<0;
当n>3时,an>0.
Sn===n2-6n.
所以当n≤3时,Tn=-Sn=-n2+6n;
当n>3时,Tn=-S3+(Sn-S3)=Sn-2S3
=(n2-6n)-2×(-9)=n2-6n+18.
综上,Tn=
(3)=,
令2m-3=t,
则==t+-6.故t为8的约数,又由于t是奇数,所以t的可能取值为±1.
当t=1时,m=2,=3=2×5-7是数列中的第5项;
当t=-1时,m=1,=-15=2×(-4)-7不是数列中的项.所以满足条件的正整数m=2.
【加固训练】已知a<b,且a2-a-6=0,b2-b-6=0,数列,满足a1=1,a2=-6a,an+1=6an-9an-1(n≥2,n∈N*),bn=an+1-ban(n∈N*).
(1)求证数列是等比数列.
(2)求数列的通项公式.
【解析】(1)由于a<b,a2-a-6=0,b2-b-6=0,
所以a=-2,b=3,a2=12.
由于an+1=6an-9an-1(n≥2,n∈N*),
bn=an+1-ban(n∈N*),
所以bn+1=an+2-3an+1
=6an+1-9an-3an+1
=3(an+1-3an)
=3bn(n∈N*).
又b1=a2-3a1=9,
所以数列是公比为3,首项为9的等比数列.
(2)由(1)可得,bn=3n+1(n∈N*).
于是,有an+1-3an=3n+1(n∈N*),
即-=1(n∈N*).
因此,数列是首项为,公差为1的等差数列.
故=+(n-1)·1.
所以数列的通项公式是an=(3n-2)·3n-1(n∈N*).
3.设数列,的前n项和分别为Sn,Tn,且Sn=(3n2+7n),Tn=2(bn-1)(n∈N*).
(1)求数列,的通项公式.
(2)把数列,的公共项从小到大排成新数列,求证:是等比数列.
(3)设dn=求数列的前n项和Dn.
【解析】(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2+7n)-[3(n-1)2+7(n-1)]=3n+2;
当n=1时,a1=S1=5=3×1+2也满足上式.
所以an=3n+2(n∈N*).
由于Tn=2(bn-1)①,
所以Tn+1=2(bn+1-1)②.
②-①得bn+1=2bn+1-2bn,
即bn+1=2bn.
由①得:b1=T1=2(b1-1),
则b1=2.
所以是首项为2,公比为2的等比数列,
所以bn=2n(n∈N*).
(2)明显,c1=8=a2=b3.
假设cn=am=bk=2k,
则3m+2=2k,
所以bk+1=2k+1=2·2k=2(3m+2)=3(2m+1)+1,
不是数列中的项;
bk+2=2k+2=4·2k=4(3m+2)=3(4m+2)+2,是数列中的第4m+2项.
所以cn+1=a4m+2=bk+2=2k+2,
从而==4.
所以是首项为8,公比为4的等比数列.
(3)由于dn=
所以数列的奇数项组成首项为5,公差为6的等差数列;
数列的偶数项组成首项为4,公比为4的等比数列.
①当n为偶数时,
Dn=×5+×××6+=n2+n-+·2n+2;
②当n为奇数且n≥3时,
Dn=Dn-1+an=(n-1)2+(n-1)-+·2n+1+(3n+2)=n2+n++·2n+1
经检验,当n=1时上式也成立.
综上所述,Dn=
【加固训练】(2022·郑州模拟)已知数列{an}满足an+1=a4=,若bn=a2n-1-1(bn≠0).
(1)求a1.
(2)求证:{bn}是等比数列.
(3)若数列{an}的前n项和为Sn,求S2n.
【解析】(1)由于a4=,an+1=
所以a3=-1=,
所以a2=3,所以a1=2.
(2)===,
数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列.
(3)由于bn=a2n-1-1,
所以a2n-1-1=(a1-1)·,
即a2n-1=+1,
所以a1+a3+…+a2n-1=+n=2-+n.
又由于a2=a1+1,a4=a3+1,…a2n=a2n-1+1,
所以S2n=2(a1+a3+…+a2n-1)+n=4-+3n.
4.(2022·衡水模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1+2(n为正整数).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)令bn=log2a1+log2+…+log2,求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)在Sn=2an-2n+1+2中,令n=1,可得
S1=2a1-22+2=a1,所以a1=2.
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2n+2,
所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-2n,
所以an=2an-1+2n,所以=+1,又=1,所以数列是首项和公差均为1的等差数列.
所以=n,所以an=n·2n.
又a1=2符合上式,故an=n·2n.
(2)由(1)得=2n,所以bn=log2a1+log2+…+log2=1+2+…+n=.
Tn=++…+=++…+
=2=.
【加固训练】设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N*,都有(an-1)(an+3)=4Sn,其中Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求证:数列{an}是等差数列.
(2)若数列的前n项和为Tn,求Tn.
【解析】(1)由于(an-1)(an+3)=4Sn,
当n≥2时,(an-1-1)(an-1+3)=4Sn-1,
两式相减,得-+2an-2an-1=4an,
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
又an>0,所以an-an-1=2.
当n=1时,(a1-1)(a1+3)=4a1,
所以(a1+1)(a1-3)=0.
又a1>0,所以a1=3,
所以数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1),a1=3,d=2,所以an=2n+1.
设bn=,n∈N*;
由于an=2n+1,所以-1=4n(n+1),
bn===-,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=++…+=1-=.
5.已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3n·bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.
(1)求an,bn.
(2)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn,并求满足Tn<7时n的最大值.
【解析】(1)当n≥2时,Sn=an+n2-1,
Sn-1=an-1+(n-1)2-1,
两式相减,得an=an-an-1+2n-1,
所以an-1=2n-1,所以an=2n+1,
所以3n·bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3,
所以bn+1=,所以当n≥2时,bn=,
又b1=3符合上式,所以bn=.
(2)由(1)知,bn=,
所以Tn=+++…++,　①
Tn=+++…++,　②
①-②,得Tn=3+++…+-
=3+4·-=5-,
所以Tn=-,
Tn-Tn+1=-=<0,
所以Tn<Tn+1,即{Tn}为递增数列.又T3=<7,
T4=>7,所以当Tn<7时,n的最大值为3.
【加固训练】(2022·上海模拟)数列{an}的首项为a(a≠0),前n项和为Sn,且Sn+1=t·Sn+a(t≠0).设bn=Sn+1,cn=k+b1+b2+…+bn(k∈R+).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)当t=1时,若对任意n∈N*,|bn|≥|b3|恒成立,求a的取值范围.
(3)当t≠1时,试求三个正数a,t,k的一组值,使得{cn}为等比数列,且a,t,k成等差数列.
【解析】(1)由于Sn+1=t·Sn+a　①,
当n≥2时,Sn=t·Sn-1+a　②,
①-②得,an+1=t·an(n≥2),
又由S2=t·S1+a,得a2=t·a1,
所以{an}是首项为a,公比为t的等比数列,
所以an=a·tn-1(n∈N*).
(2)当t=1时,an=a,Sn=na,bn=na+1,
由|bn|≥|b3|,得|na+1|≥|3a+1|,
(n-3)a[(n+3)a+2]≥0　(*)
当a>0,n<3时,(*)不成立;
当a<0时,(*)等价于(n-3)[(n+3)a+2]≤0　(**)
当n=3时,(**)成立.
当n≥4时,有(n+3)a+2≤0,
即a≤-恒成立,所以a≤-.
当n=1时,有4a+2≥0,a≥-.
当n=2时,有5a+2≥0,a≥-.
综上,a的取值范围是.
(3)当t≠1时,Sn=,
bn=+1=1+-,
cn=k+n+-
=+·n+,
所以,当时,数列{cn}是等比数列,
所以
又由于a,t,k成等差数列,
所以2t=a+k,即2t=t-1+,
解得t=.
从而a=,k=.
所以当a=,t=,k=时,数列{cn}为等比数列.
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