2021高考数学(福建-理)一轮学案33-不等式的概念与性质.docx

第七章　不等式、推理与证明
学案33　不等式的概念与性质
导学目标： 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．

自主梳理
1．不等关系
不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如3>0)，变量与________间的不等关系(如x>5)，函数与________之间的不等关系(如x2＋1≥2x)等．
2．不等式
用________(如“<”“>”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．不等式可分为确定不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、冲突不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)．
3．两个实数大小的比较
(1)作差法：设a，b∈R，则a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，这是比较两个实数大小和运用比较法的依据．
(2)作商法：依据：设a>0，b>0，则a>b⇔__________，
a<b⇔<1.
4．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔________；
(2)传递性：a>b，b>c⇒________；
(3)加法性质：a>b⇔________；
推论：a>b，c>d⇒________；
(4)乘法性质：a>b，c>0⇒________；
推论：a>b>0，c>d>0⇒________；
(5)乘方性质：a>b>0⇒________________________；
(6)开方性质：a>b>0⇒________________________；
(7)倒数性质：a>b，ab>0⇒________________.
自我检测
1．(2011·大纲全国)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
2．若a，b是任意实数，且a>b，则(　　)
A．a2>b2 B.<1
C．lg(a－b)>0 D.a<b
3．(2011·青岛模拟)设a>0，b>0，则以下不等式中不愿定成立的是(　　)
A．＋≥2
B．ln(ab＋1)>0
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b
D．a3＋b3≥2ab2
4．(2011·上海)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
5．(2010·安徽)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出全部正确命题的序号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.

探究点一　数与式的大小比较

例1　(1)设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；
(2)已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，比较cn与an＋bn的大小．

变式迁移1　已知a>2，b>2，试比较a＋b与ab的大小．

探究点二　不等式性质的简洁应用

例2　下面的推理过程
⇒ac>bd⇒>，其中错误之处的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
变式迁移2　(2011·许昌月考)若a<b<0，则下列不等式中不成立的是(　　)
A.> B.>
C．|a|>|b| D．a2>b2
探究点三　求字母或代数式范围问题
例3　(1)已知12<a<60,15<b<36，求a－b及的取值范围．
(2)设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1) ≤4，求f(－2)的取值范围．

变式迁移3　(1)已知－≤α≤，0≤β≤π，则2α－的范围为________．
(2)(2010·辽宁)已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围为________．(答案用区间表示)

1．数或式的大小比较常见的思路：一是接受作差(或作商)比较法；二是直接应用不等式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性．在不等关系的推断及数或式的大小比较过程中等价转化是关键．
2．由M1<f1(a，b)<N1和M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围，当然要将已知两个不等式相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大．这时可以用所谓的“线性相关值”，令g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)，用恒等关系求出待定系数p，q，于是一次相加，便可求到所需要的范围．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·开封调研)已知a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中确定成立的是(　　)
A．ab>ac B．c(b－a)<0
C．cb2<ab2 D．ac(a－c)>0
2．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D.>
3．(2011·金华模拟)已知a>b，则下列不等式确定成立的是(　　)
A．lg a>lg b B．a2>b2
C.< D．2a>2b
4．(2011·舟山七校联考)若a<b<0，则下列结论中正确的是(　　)
A.>和>均不能成立
B.>和>均不能成立
C．不等式>和2>2均不能成立
D．不等式>和2<2均不能成立
5．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若x>y>1，且0<a<1，则①ax<ay；②logax>logay；③x－a>y－a；④logxa<logya.
其中不成立的个数是________．
7．(2011·东莞月考)当a>0>b，c<d<0时，给出以下三个结论：①ad<bc；②a＋c2>b＋d2；③b－c>d－c.其中正确命题的序号是________．
8．已知－≤α<β≤，则的取值范围是________；的取值范围是______________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·阳江月考)已知a＋b>0，试比较＋与＋.

10．(12分)比较aabb与abba(a，b为不相等的正数)的大小．

11．(14分)已知a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc>a2.试比较a，b，c的大小．

学案33　不等式的概念与性质
自主梳理
1．常量　常量　函数　2.不等号　3.(2)>1　4.(1)b<a　(2)a>c　(3)a＋c>b＋c　a＋c>b＋d　(4)ac>bc　ac>bd　(5)an>bn (n∈N且n≥2)　(6)> (n∈N且n≥2)
(7)<
自我检测
1．A　2.D　3.D　4.D
5．①③⑤
课堂活动区
例1　解题导引　比较大小有两种基本方法：
(1)作差法步骤：作差——变形——推断差的符号．作商法的步骤：作商——变形——推断商与1的大小．(2)两种方法的关键是变形．常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的．
解　(1)方法一　(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，
∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0.
∴－2xy(x－y)>0.
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
方法二　∵x<y<0，
∴x－y<0，x2>y2，x＋y<0.
∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0.
∴0<＝<1.
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
(2)∵a，b，c∈{正实数}，∴an，bn，cn>0.
而＝n＋n.
∵a2＋b2＝c2，则2＋2＝1，
∴0<<1,0<<1.
∵n∈N，n>2，
∴n<2，n<2.
∴＝n＋n<＝1.
∴an＋bn<cn.
变式迁移1　解　方法一　(作差法)
ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1，
∵a>2，b>2，∴a－1>1，b－1>1.
∴(a－1)(b－1)－1>0.
∴ab－(a＋b)>0.
∴ab>a＋b.
方法二　(作商法)∵＝＋，
且a>2，b>2，∴<，<.
∴＋<＋＝1.
∴<1.又∵ab>4>0，∴a＋b<ab.
例2　D　[由a>b⇒ac>bc，c>d⇒bc>bd都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不转变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac>bd是正确的，由ac>bd⇒>是对不等式ac>bd两边同除cd，由于不知cd的正、负，故这一步也是错误的．]
变式迁移2　B　[∵a<b<0，∴ab>0.
取倒数，则有>，选项A正确．
∵a<b<0，∴|a|>|b|和a2>b2两个不等式均成立，选项C、D正确．
对于B，－＝，
又∵a<b<0，∴a－b<0.∴<0，
即<.∴选项B不成立．]
例3　解题导引　第(2)题中，由于f(x)＝ax2＋bx，所以f(－2)、f(－1)和f(1)都是关于a，b的代数式，由于已知f(－1)、f(1)的范围，因此利用待定系数法表示出f(－2)，通过等式两边a、b系数相等求出待定系数，然后通过f(－1)、f(1)的范围求出f(－2)的范围．本题也可用线性规划求解，即已知条件可化为求的是z＝4a－2b的范围．
解　(1)∵15<b<36，∴－36<－b<－15.
∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.
又<<，∴<<.
∴<<4.
(2)方法一　由，
得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
方法二　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
∴解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10，
∴f(－2)的取值范围是[5,10]．
变式迁移3　(1)[－，π]　(2)(3,8)
解析　(1)由－≤α≤
⇒－π≤2α≤π，
由0≤β≤π⇒－≤－≤0，
两不等式相加得：－≤2α－≤π.
所以2α－的范围为.
(2)设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，对应系数相等，
则⇒
从而2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)∈(3,8)．
课后练习区
1．A　[由c<b<a，且ac<0，知a>0，c<0，但b的符号不确定，b可能为0，故C错误．
由b>c⇒ab>ac，b可能为0，故A正确．
⇒c(b－a)>0，故B错误．
⇒ac(a－c)<0，故D错误．]
2．C　[∵a>b>0，∴ab>0，∴>.
∴a＋>b＋.故选C.]
3．D　[只有指数函数y＝2x在R上为增函数，所以D正确．而A、C明显不是对于一切实数都成立的，B的等价条件是|a|>|b|，明显也错误．]
4．D　[∵a<b<0，∴a－b<0.－＝，2b－a的正负不确定，即>有可能成立；又∵a<b<0，
∴|a|>|b|>0，则有<，即>不成立．]
5．D　[①由ab>0，bc－ad>0，即bc>ad，
得>，即－>0；
②由ab>0，－>0，即>，
得bc>ad，即bc－ad>0；
③由bc－ad>0，－>0，
即>0，得ab>0；
故可组成3个正确的命题．]
6．3
解析　∵x>y>1,0<a<1，∴ax<ay，logax<logay，
故①成立，②不成立．
∵xa>ya>0，∴x－a<y－a，③不成立．
又logax<logay<0，∴>.
即logxa>logya，∴④也不成立．
7．①②
解析　∵ad<0，bc>0，∴ad<bc，故①正确；
又∵c<d<0，∴c2>d2>0.
由已知a>b，同向不等式相加得a＋c2>b＋d2，故②正确；
对于结论③，d－c>0，b－c的正、负不确定，故③不正确．
8.　
解析　∵－≤α<，－<β≤，
∴－π<α＋β<π，∴－<<.
∵－≤－β<，
∴－π≤α－β<π，∴－≤<.
又∵α－β<0，∴－≤<0.
9．解　＋－＝＋
＝(a－b)＝.(6分)
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0.
∴＋≥＋.(12分)
10．解　＝aa－bbb－a＝a－b，(4分)
当a>b>0时，>1，a－b>0，
∴a－b>1；(8分)
当0<a<b时，<1，a－b<0，
∴a－b>1.(11分)
综上所述，当a，b为不相等的正数时，总有aabb>abba.
(12分)
11．解　∵bc>a2>0，∴b，c同号．(2分)
又a2＋c2>0，a>0，∴b＝>0.
∴c>0.(4分)
由(a－c)2＝2ab－2ac＝2a(b－c)≥0，
∴b－c≥0.(6分)
当b－c>0，即b>c时，
由⇒·c>a2⇒(a－c)(2a2＋ac＋c2)<0.
∵a>0，b>0，c>0，∴2a2＋ac＋c2>0.
∴a－c<0，即a<c，则a<c<b.(10分)
当b－c＝0，即b＝c时，
∵bc>a2，∴b2>a2，即b≠a.
又∵a2－2ab＋c2＝(a－b)2＝0⇒a＝b与a≠b冲突，
∴b－c≠0.综上，可知a<c<b.(14分)