2021高考数学(四川专用-理科)二轮专题整合：1-7-1函数与方程思想、数形结合思想.docx

专题七 数学思想方法
第1讲　函数与方程思想、数形结合思想

一、选择题
1．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是 (　　)．
A．(－∞，－1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞) D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析　∵等比数列{an}中，a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.当公比q＞0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，当公比q＜0时，S3＝1－≤1－2＝－1，∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案　D
2．已知a，b是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 (　　)．
A. B.2
C. D.2
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.由题意知⊥，

∴O，A，C，B四点共圆．
∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，||＝.
答案　A
3．若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有
(　　)．
A．f(2)＜f(3)＜g(0) B.g(0)＜f(3)＜f(2)
C．f(2)＜g(0)＜f(3) D.g(0)＜f(2)＜f(3)
解析　由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝，g(x)＝，g(0)＝－1，函数f(x)＝在R上是增函数，且f(3)＞f(2)＝＞0，因此g(0)＜f(2)＜f(3)．
答案　D
4．若a＞1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是 (　　)．
A．(1，) B.(，)
C．[，] D.(，)
解析　e2＝2＝＝1＋2，由于当a＞1时，0＜＜1，所以2＜e2＜5，即＜e＜.
答案　B
二、填空题
5．已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f(x)＜0的x的取值范围是________．
解析　作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)＜0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．

答案　(－1,0)∪(0,1)
6．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．
解析　圆心坐标为(－1,2)，由于圆关于直线对称，所以－2a－2b＋2＝0即a＋b－1＝0，∴ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－(a－)2＋≤.
答案　(－∞，]
7．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则
△ABC的面积为________．
解析　由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4，由一个内角为120°知其必是最长边x＋4所对的角．
由余弦定理得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)cos 120°，
∴2x2－20x＝0，
∴x＝0(舍去)或x＝10.
∴SΔABC＝×(10－4)×10×sin 120°＝15.
答案　15
8．函数f(x)＝()x－sin x在区间[0,2π]上的零点个数为________．

解析　函数f(x)＝()x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数即为方程()x－sin x＝0在区间[0,2π]上解的个数．因此可以转化为两函数y＝()x与y＝sin x交点的个数，依据图象可得交点个数为2，即零点个数为2.
答案　2
三、解答题
9．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的全部实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，求x的取值范围．
解　∵t∈[，8]，∴f(t)∈.
原题转化为当m∈时，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，即m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立．
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈，
问题转化为g(m)在m∈上恒大于0，
即 　即
解得x＞2或x＜－1.
10．已知平面对量a＝，b＝，且存在实数x，y，使得m＝a＋(x2－3)b，n＝－ya＋xb且m⊥n.
(1)求y＝f(x)的关系式；
(2)已知k∈R，争辩关于x的方程f(x)－k＝0的实根个数．
解　(1)a·b＝·－·＝0，|a|＝，|b|＝1.
由于m⊥n，所以m·n＝0，
即[a＋(x2－3)b](－ya＋xb)＝0，化简整理得y＝x3－x，
即f(x)＝x3－x.
(2)方程f(x)－k＝0实根个数由两函数y＝f(x)，y＝k的图象交点个数确定．由f ′(x)＝x2－1＝(x－1)(x＋1)知：
f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，极大值
f(－1)＝，微小值f(1)＝－.
作y＝f(x)和y＝k的图象如图，

知当k＜－或k＞时，两图象有一个交点，原方程有一个实根；
当k＝±时，原方程有两个实根；
当－＜k＜时，原方程有三个实根．
11．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围．
解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，设c＞0，c2＝a2－b2，
由题意，知2b＝，＝，
所以a＝1，b＝c＝.
故椭圆C的方程为y2＋＝1.
即y2＋2x2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)
＝4(k2－2m2＋2)＞0，(*)
x1＋x2＝，x1x2＝.
由于＝3 ，所以－x1＝3x2.
所以
所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.
所以3·2＋4·＝0.
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.
当m2＝时，上式不成立；
当m2≠时，k2＝，
由(*)式，得k2＞2m2－2，
又k≠0，所以k2＝＞0.
解得－1＜m＜－或＜m＜1.
即所求m的取值范围为∪.