2021高考数学(人教版)一轮复习学案41-空间几何体的表面积与体积.docx

学案41　空间几何体的表面积与体积

导学目标： 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培育同学的空间想象力气、规律推理力气和计算力气，会利用所学公式进行必要的计算.4.提高生疏图、理解图、应用图的力气．

自主梳理
1．多面体的表面积
(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧＝______.
(2)设正n棱锥底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则S正棱锥侧＝____________＝____________.
(3)设正n棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则
S正棱台侧＝__________＝____________.
(4)设球的半径为R，则S球＝____________.
2．几何体的体积公式
(1)柱体的体积V柱体＝______(其中S为柱体的底面面积，h为高)．
特殊地，底面半径是r，高是h的圆柱体的体积V圆柱＝πr2h.
(2)锥体的体积V锥体＝________(其中S为锥体的底面面积，h为高)．
特殊地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥＝πr2h.
(3)台体的体积V台体＝______________(其中S′，S分别是台体上、下底面的面积，h为高)．
特殊地，上、下底面的半径分别是r′、r，高是h的圆台的体积V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)．
(4)球的体积V球＝__________(其中R为球的半径)．
自我检测
1．已知两平行平面α，β间的距离为3，P∈α，边长为1的正三角形ABC在平面β内，则三棱锥P—ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
2．(2011·唐山月考)

从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，则它的表面积与正方体表面积的比为(　　)
A.∶3 B.∶2
C.∶6 D.∶6
3．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B—APQC的体积为(　　)
A.V B.V
C.V D.V
4．(2011·平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，依据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　)

A．9π B．10π
C．11π D．12π
5．(2011·陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是(　　)

A．8－ B．8－
C．8－2π D.

探究点一　多面体的表面积及体积
例1　三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．

变式迁移1　(2011·烟台月考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为________．
探究点二　旋转体的表面积及体积
例2　

如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．

变式迁移2　直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．
探究点三　侧面开放图中的最值问题

例3　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，CC1＝c，并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长．

变式迁移3　

(2011·杭州月考)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝ .P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．

1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
2．当给出的几何体比较简洁，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不简洁，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可接受“割”、“补”的技巧，化简洁几何体为简洁几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题供应便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体依据结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算便利，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些状况下，可以将台体补成锥体争辩体积．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．48 B．32＋8
C．48＋8 D．80
2．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是(　　)
A．96 B．16 C．24 D．48
3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动(EF<a)，若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四周体P—QEF的体积是(　　)
A．有最小值的一个变量
B．有最大值的一个变量
C．没有最值的一个变量
D．一个不变量
4．(2010·全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
5．(2011·北京)某四周体的三视图如图所示，该四周体四个面的面积中最大的是(　　)

A．8 B．6 C．10 D．8

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2011·马鞍山月考)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．
7．(2011·淄博模拟)一块正方形薄铁片的边长为4 cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.

8．(2011·四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·佛山模拟)如图组合体中，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，

C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1—BCC1B1与圆柱的体积比．

10．(12分)

(2011·抚顺模拟)如图，四周体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)试问该四周体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由．

11．(14分)(2011·锦州期末)如图，多面体ABFEDC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．

(1)求证：MN∥平面CDEF；
(2)求多面体A—CDEF的体积．

学案41　空间几何体的表面积与体积
自主梳理
1．(1)ch　(2)nah′　ch′　(3)n(a＋a′)h′　(c＋c′)h′　(4)4πR2　2.(1)Sh　(2)Sh　(3)h(S＋＋S′)　(4)πR3
自我检测
1．D　[由题意，S△ABC＝，三棱锥的高h＝3，
∴V三棱锥P—ABC＝Sh＝.]
2．A　[设正方体棱长为a，则正四周体棱长AB＝a，
∴S正四周体表＝4××(a)2＝2a2.
∵S正方体表＝6a2，∴四周体的表面积与正方体表面积的比为∶3.]
3．C
4.

D　[据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如图所示，
故该几何体的表面积为S＝S圆柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.]
5．A　[由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－×π×2＝8－，故选A.]
课堂活动区
例1　解题导引　对于斜棱柱表面积及体积的求解必需求各个侧面的面积和棱柱的高．
解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直⇒线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高．
解　

如图，过点A1作A1O⊥面ABC于点O，连接AO.
过点A1作A1E⊥AB于点E，过点A1作A1F⊥AC于点F，连接EO，FO，易得OE⊥AB，OF⊥AC，
∵AA1和AB与AC都成60°角，
∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F.
∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO.
∴点O在∠BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，
∵△ABC是正三角形，
∴BC⊥AD.∴BC⊥AA1.
∵AA1∥BB1，∴侧面BB1C1C是矩形，
∴三棱柱的侧面积为S＝2×3×4×sin 60°＋3×4＝12＋12.
∵AA1＝3，AA1与AB和AC都成60°角，
∴AE＝.∵∠BAO＝30°，
∴AO＝，A1O＝.
∴三棱柱的体积为V＝×16×＝12.
变式迁移1　2＋4
解析　

如图所示，设D为BC的中点，连接A1D，AD.
∵△ABC为等边三角形，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD，
∴BC⊥A1A，
又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1B，
又∵侧面与底面边长都等于2，
∴四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.
作DE⊥AB于E，连接A1E，则AB⊥A1E，
又∵AD＝＝，DE＝＝，
∴AE＝＝，
∴A1E＝＝，
∴S四边形ABB1A1＝，∴S三棱柱侧＝2＋4.
例2　解题导引　解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的外形，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算．求全面积时不要遗忘“内表面”．
解　如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，

在半圆中可得∠BCA＝90°，
∠BAC＝30°，
AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，
∴S球＝4πR2，
S圆锥AO1侧＝π×R×R
＝πR2，
S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧
＝πR2＋πR2＝πR2，
∴旋转所得到的几何体的表面积为πR2.
又V球＝πR3，V圆锥AO1＝·AO1·πCO
＝πR2·AO1，
V圆锥BO1＝BO1·πCO＝πR2·BO1，
∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)
＝πR3－πR3＝πR3.
变式迁移2　20π
解析　在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2，由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径r＝2，设此圆圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，易得球半径R＝，故此球的表面积为4πR2＝20π.
例3　解题导引　本题可将长方体表面开放，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．
解　将长方体相邻两个面开放有下列三种可能，
如图所示．

三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：
＝，
＝，
＝，
∵a>b>c>0，∴ab>ac>bc>0.
故最短线路的长为.
变式迁移3　5
解析　将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图所示．

连接A1C即为CP＋PA1的最小值，过点C作CD垂直A1C1延长线交于D，△BCC1为等腰直角三角形，
∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7.
∴A1C＝＝ ＝5 .
课后练习区
1．C　[

由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为＝.所以S表＝42＋2×4＋×(2＋4)×4×2＋4××2＝48＋8.]
2．D　[由πR3＝，∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4.
∴V＝×(4)2×4＝48.]
3．D　4.B
5．C　[将三视图还原成几何体的直观图如图所示．

它的四个面的面积分别为8,6,10,6，故最大的面积应为10.
6．6
解析　取底面中心为O，AF中点为M，连接PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，

OM⊥AF，PM⊥AF，
∵OA＝OP＝2，∴OM＝，
PM＝＝.
∴S侧＝6××2×＝6.
7.π
解析　围成圆锥筒的母线长为4 cm，
设圆锥的底面半径为r，则2πr＝·2π×4，
∴r＝1，∴圆锥的高h＝＝.
∴V圆锥＝·πr2·h＝π(cm3)．
8．2πR2
解析　方法一　设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2Rcos α，圆柱底面半径为Rsin α，∴S圆柱侧＝2π·Rsin α·2Rcos α＝2πR2sin 2α.当sin 2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR2，此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.
方法二　设圆柱底面半径为r，则其高为2.
∴S圆柱侧＝2πr·2，
S′圆柱侧＝4π－.
令S′圆柱侧＝0，得r＝R.
当0<r<R时，S′>0；
当R<r<R时，S′<0.
∴当r＝R时，S圆柱侧取得最大值2πR2.
此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.
方法三　设圆柱底面半径为r，则其高为2，
∴S圆柱侧＝2πr·2＝4π
≤4π＝2πR2(当且仅当r2＝R2－r2，即r＝R时取“＝”)．
∴当r＝R时，S圆柱侧最大为2πR2.
此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.
9．解　设圆柱的底面半径为r，母线长为h，
当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r2，三棱柱ABC—A1B1C1的体积为r2h，三棱锥A1—ABC的体积为r2h，四棱锥A1—BCC1B1的体积为r2h－r2h＝r2h，圆柱的体积为πr2h，(10分)
故四棱锥A1—BCC1B1与圆柱的体积比为2∶3π.
(12分)
10．(1)证明　取BC的中点E，连接AE，DE，EF，

∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
又AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面AED.又AD⊂面AED，
∴BC⊥AD.(6分)
(2)解　由已知得，△AED为等腰三角形，且AE＝ED＝2，设AD＝x，F为棱AD的中点，
则EF＝，
S△AED＝x ＝，(8分)
V＝S△AED·(BE＋CE)＝ (0<x<4)，
当x2＝24，即x＝2时，Vmax＝8，
∴该四周体存在最大值，最大值为8，(11分)
此时棱长AD＝2.(12分)
11．(1)证明　由多面体ABFEDC的三视图知，三棱柱AED—BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA＝AE＝2，DA⊥平面ABFE，面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．(3分)

连接EB，则M是EB的中点，
在△EBC中，MN∥EC，
且EC⊂平面CDEF，
MN⊄平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF.(6分)
(2)解　∵DA⊥平面ABFE，
EF⊂平面ABFE，
∴EF⊥AD.又EF⊥AE，AE∩AD＝A，∴EF⊥平面ADE.
又DE⊂平面ADE，∴EF⊥DE，(8分)
∴四边形CDEF是矩形，且平面CDEF⊥平面DAE.
取DE的中点H，连接AH，∵DA⊥AE，DA＝AE＝2，
∴AH＝，且AH⊥平面CDEF.(12分)
∴多面体A—CDEF的体积V＝SCDEF·AH
＝DE·EF·AH＝.(14分)

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