2021高考数学(文理通用)一轮课时作业19-正弦定理和余弦定理.docx

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课时提升作业(十九)
正弦定理和余弦定理
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·台州模拟)在△ABC中,已知a=2,b=2,B=45°,则角A=(　　)
A.30°或150° B.60°或120°
C.60° D.30°
【解析】选D.由正弦定理asinA=bsinB,
得sinA=a·sinBb=2·sin45°2=12,
又a<b,故A<45°,因此A=30°.
【误区警示】本题简洁由sinA=a·sinBb得sinA=12,而没有利用a<b推断A<45°,就得出A=30°或150°.从而导致增解.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=42,B=45°,则sinC等于(　　)
A.441 B.45 C.425 D.44141
【解析】选B.依据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac·cosB=1+32-8=25,所以b=5,依据正弦定理,得csinC=bsinB,代入数据得sinC=45.
3.(2022·杭州模拟)若△ABC的三个内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC,则
△ABC(　　)
A.确定是锐角三角形
B.确定是直角三角形
C.确定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
【解析】选C.由6sinA=4sinB=3sinC,
得sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,
设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则由正弦定理知a∶b∶c=2∶3∶4,
令a=2k,b=3k,c=4k(k>0),
则cosC=a2+b2-c22ab=4k2+9k2-16k22×2k×3k=-14<0.
故C为钝角,所以△ABC确定为钝角三角形.
【加固训练】
(2022·莆田模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccosA,c=2bcosA,则△ABC的外形为(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选C.由正弦定理,得sinB=2sinCcosA,sinC=2sinBcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC,即sinAcosC-cosAsinC=0,所以sin(A-C)=0,A=C,同理可得A=B,所以三角形为等边三角形.
4.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)
A.90° B.120° C.135° D.150°
【解析】选B.设C所对边长为7,
由于5<7<8,所以角C是处于最大角与最小角之间的角,cosC=52+82-722×5×8=12,
由于0°<C<180°,所以C=60°,所以最大角与最小角之和为180°-60°=120°.
5.(2021·北京高考)在△ABC中,a=3,b=5,sinA=13,则sinB=(　　)
A.15 B.59 C.53 D.1
【解析】选B.由正弦定理得asinA=bsinB,所以313=5sinB,
所以sinB=59.
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,则A=(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选A.由正弦定理,得c=23b,
又a2-b2=3bc,
所以a2=7b2.由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=32,由于0°<A<180°,所以A=30°.
7.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,且b2=a2-ac+c2,C-A=90°,则cosAcosC=(　　)
A.14 B.24 C.-14 D .-24
【思路点拨】由边的关系利用余弦定理求出cosB,从而求出三个内角后再求解.
【解析】选C.依题意得a2+c2-b2=ac,cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12.又0°<B<180°,所以B=60°,C+A=120°.又C-A=90°,所以C=90°+A,A=15°,
cosAcosC=cosAcos(90°+A)=-12sin2A=-12sin30°=-14,选C.
8.(2021·湖州模拟)在△ABC中,A=120°,b=1,面积为3,则b-c-asinB-sinC-sinA=(　　)
A.2393 B.393 C.27 D.47
【解析】选C.由于A=120°,所以sinA=32,S=12×1×|AB|×sinA=3,所以|AB|=4,
依据余弦定理,
得|BC|2=|AC|2+|AB|2-2|AC||AB|cosA=21,
所以|BC|=21,
依据正弦定理可知b-c-asinB-sinC-sinA=|BC|sinA=27.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2021·嘉兴模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3,C=π3,a=2b,则b的值为　　　　.
【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,
即32=(2b)2+b2-2·2b·b·cosπ3,
解得b=3.
答案:3
10.在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=1,∠BAD=30°,则AD的长度为　　　　.
【思路点拨】将中线延长一半构造平行四边形,将条件集中到一个三角形中求解.
【解析】延长AD到M,使得DM=AD,连接BM,MC,则四边形ABMC是平行四边形.在△ABM中,由余弦定理得BM2=AB2+AM2-2AB·AM·cos∠BAM,即12=22+AM2-2·2·AM·cos30°,解得AM=3,所以AD=32.
答案:32
11.(2022·温州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b-c)cosA=acosC,则cosA=　　　　.
【解析】由正弦定理,得3sinBcosA-sinCcosA=
sinAcosC,即3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,所以3sinBcosA=sin(A+C),即3sinBcosA=
sinB,由于B为三角形的内角,所以sinB≠0,两边同时除以3sinB,得cosA=33.
答案:33
12.(力气挑战题)在△ABC中,三边长为连续的自然数,且最大角为钝角,这个三角形的三边长分别为　　　　.
【思路点拨】设出三边,利用余弦定理构造不等式,求出范围利用边长为自然数求解.
【解析】设三边长分别为n-1,n,n+1(n>1,n∈N),则由n2+(n-1)2-(n+1)2=n2-4n<0得0<n<4,所以n=2或3,当n=2时三边长为1,2,3,不能构成三角形.所以n=3,三边长分别为2,3,4.
答案:2,3,4
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2022·金华模拟)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+3bsinA=c.
(1)求角A的大小.
(2)若a=1,AB→·AC→=3,求b+c的值.
【解析】(1)由题得
sinAcosB+3sinBsinA=sin(A+B),
可得3sinBsinA=cosAsinB,
所以tanA=33,即A=π6.
(2)由AB→·AC→=3得cbcosπ6=3,
即cb=23,①
又a=1,从而1=b2+c2-2bccosπ6,②
由①②可得(b+c)2=7+43,所以b+c=2+3.
14.(2021·宁德模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
若B=60°,2b=a+c,推断△ABC的外形.
【解析】方法一:2b=a+c,2sinB=sinA+sinC,B=60°,A+C=120°,代入,得
2sin60°=sin(120°-C)+sinC,开放整理得,
32sinC+12cosC=1,sin(C+30°)=1,
C=60°,所以A=60°,故△ABC为正三角形.
方法二:由余弦定理可得,b2=a2+c2-2accosB,
B=60°,b=a+c2,
a+c22=a2+c2-2accos60°,(a-c)2=0,
所以a=c=b,故△ABC为正三角形.
【方法技巧】推断三角形的外形的思路与依据
(1)思路:必需从争辩三角形的边与边的关系,或角的关系入手,充分利用正弦定理与余弦定理进行转化,即化边为角或化角为边,使边角统一.
(2)推断依据:
①等腰三角形:a=b或A=B.
②直角三角形:b2+c2=a2或A=90°.
③钝角三角形:a2>b2+c2,A>90°.
④锐角三角形:若a为最大边,且满足a2<b2+c2或A为最大角,且A<90°.
【加固训练】(2022·沈阳模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小.
(2)若sinB+sinC=1,试推断△ABC的外形.
【解析】(1)由已知,依据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c
即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
故cosA=-12,A=120°.
(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,
变形得34=(sinB+sinC)2-sinBsinC,
又sinB+sinC=1,得sinBsinC=14,
上述两式联立得sinB=sinC=12,
由于0°<B<90°,0°<C<90°,
故B=C=30°,
所以△ABC是等腰的钝角三角形.
15.(力气挑战题)在△ABC中,已知A=π4,cosB=255.
(1)求cosC的值.
(2)若BC=25,D为AB的中点,求CD的长.
【思路点拨】(1)利用C=π-A-B,将cosC转化为角A,B的函数值求解.(2)先利用正弦定理求出AB,再由余弦定理求CD.
【解析】(1)由于cosB=255且B∈(0,π),
所以sinB=1-cos2B=55,
cosC=cos(π-A-B)=cos3π4-B
=cos3π4cosB+sin3π4sinB
=-22·255+22·55=-1010.
(2)由(1)可得sinC=1-cos2C=1--10102=31010,
由正弦定理,得BCsinA=ABsinC,即2522=AB31010,解得AB=6,在△BCD中,CD2=(25)2+32-2×3×25×255=5,所以CD=5.
【加固训练】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b·cosA=c·cosA+a·cosC.
(1)求角A的大小.
(2)若a=7,b+c=4,求bc的值.
【解析】(1)由正弦定理,得
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径),
则已知等式可化为2sinBcosA
=sinCcosA+sinAcosC,
即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,
又sinB≠0,所以cosA=12,A=60°.
(2)(b+c)2=16,即b2+c2+2bc=16(*),
又由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,可得b2+c2-bc=7,代入(*)式得bc=3.
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