2022高考数学(新课标人教版)一轮总复习练习：第5章-数列-第4节-数列求和.docx

第五章 第4节
一、选择题
1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列{}的前10项的和为(　　)
A．120　　　　　　　 B．70
C．75 D．100
[解析]　∵＝n＋2，∴{}的前10项和为10×3＋＝75.
[答案]　C
2．(2022·新课标高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C. D.
[解析]　由题意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比数列，即(a2＋4)2＝a2(a2＋12)，解得a2＝4，即a1＝2，所以Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．
[答案]　A
3．(2021·北京师大附中统测)已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和为(　　)
A．4 B．4
C．1－ D.－
[解析]　由题意知an＝＋＋＋…＋＝＝，bn＝＝4，所以b1＋b2＋…＋bn＝4＋4＋…＋4＝4＝4.
[答案]　A
4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)
A．200 B．－200
C．400 D．－400
[解析]　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
[答案]　B
5．数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(　　)
A．－10 B．－9
C．10 D．9
[解析]　数列的前n项和为
＋＋…＋＝1－＝＝，
∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0.
令x＝0，得y＝－9，∴在y轴上的截距为－9.
[答案]　B
6．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于　(　　)
A．126 B．130
C．132 D．134
[解析]　bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q(常数)，
∴{bn}为等差数列．∴∴
由bn＝－2n＋24≥0，得n≤12，∴{bn}的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，∴S11、S12最大且S11＝S12＝132.
[答案]　C
二、填空题
7．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n (n∈N＋)，则S100＝________.
[解析]　由an＋2－an＝1＋(－1)n知a2k＋2－a2k＝2，
a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.
∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋＝2 600.
[答案]　2 600
8．数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________.
[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
∴an＝.
令2n－5≤0，得n≤，∴当n≤2时，an<0，当n≥3时，
an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝66.
[答案]　66
9．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.
[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，
又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.
∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
[答案]　(4n－1)
10．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N＋)，则＋＋…＋＝________.
[解析]　令n＝1得＝4，即a1＝16，当n≥2时，＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，所以an＝4(n＋1)2，当n＝1时，也适合上式，所以an＝4(n＋1)2(n∈N*)．于是＝4(n＋1)，故＋＋…＋＝2n2＋6n.
[答案]　2n2＋6n
三、解答题
11．(2021·乌鲁木齐第一次诊断)已知等比数列{an}和等差数列{bn}均是首项为2，各项为正数的数列，且b2＝4a2，a2b3＝6.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求使<0.001成立的正整数n的最小值．
[解]　(1)设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，
依题意得
解得，或(舍)
∴an＝()n－2，bn＝2n.
(2)由(1)得abn＝a2n＝()2n－2，
∵abn<0.001，即()2n－2<0.001，
∴22n－2>1 000，
∴2n－2≥10，即n≥6，
∴满足题意的正整数n的最小值为6.
12．(2021·江南十校联考)已知直线ln：y＝x－与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An、Bn，n∈N＋，数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝|AnBn|2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解]　(1)由题意知，圆Cn的圆心到直线ln的距离dn＝，圆Cn的半径rn＝，
∴an＋1＝(|AnBn|)2＝r－d＝(2an＋n)－n＝2an，
又a1＝1，∴an＝2n－1.
(2)当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)
＝[1＋5＋…＋(2n－3)]＋(2＋23＋…＋2n－1)
＝＋
＝＋(2n－1)．
当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＋1＝＋(2n＋1－1)＝＋(2n＋1－1)，
而Tn＋1＝Tn＋bn＋1＝Tn＋2n，
∴Tn＝＋(2n－2)．
∴Tn＝