2022届高考数学(文科人教A版)大一轮单元评估检测(三)第三章-.docx

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单元评估检测(三)
第三章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于其次象限的点Pcosα,35,则cosα+sinα= (　　)

A.15 B.-15 C.75 D.-75
【解析】选B.由三角函数的定义,得
sinα=35,又α是其次象限的角,
所以cosα=-1-sin2α=-1-925=-45,
故cosα+sinα=-15.
【加固训练】已知点Psin3π4,cos3π4落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为(　　)
A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4
【解析】选D.由sin3π4>0,cos3π4<0知角θ在第四象限,由于tanθ=cos3π4sin3π4=-1,
θ∈[0,2π),所以θ=7π4.
2.(2021·济南模拟)已知tanα=2,则cos2α+1=(　　)
A.1 B.54 C.65 D.85
【解析】选C.由tanα=2,得sinα=2cosα.
又sin2α+cos2α=1,
所以5cos2α=1,即cos2α=15,故cos2α+1=65.
【一题多解】本题还可如下解答:
选C.由于tanα=2,
所以cos2α+1=sin2α+2cos2αsin2α+cos2α=tan2α+2tan2α+1=65.
3.在△ABC中,若tanB=-2,cosC=31010,则角A等于(　　)
A.π6 B.π4 C.π3 D.712π
【解题提示】利用三角形的内角和定理先求角A的正切值,再求角A的大小.
【解析】选B.由于cosC=31010>0,
所以sinC=1-cos2C=1010,故tanC=sinCcosC=13,又由于A=π-(B+C),
所以tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)
=-tanB+tanC1-tanBtanC=--2+131+23=1.
由于A∈(0,π),所以A=π4.
4.(2021·眉山模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图
所示,f(x)的图象左移π4个单位得到g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴可以
是(　　)

A.x=0 B.x=π3 C.x=π2 D.x=-π3
【解析】选D.由图象可知T2=11π12-5π12=π2,即函数的最小正周期T=π,所以ω=2,
由于f5π12=2sin2×5π12+φ=2sin5π6+φ=2,
即sin5π6+φ=1,所以5π6+φ=π2+kπ,k∈Z,
即φ=-π3+kπ,k∈Z,
由于-π2<φ<π2,
所以φ=-π3,即f(x)=2sin2x-π3,
将f(x)的图象左移π4个单位得到g(x)的图象,
则g(x)=fx+π4=2sin2x+π2-π3
=2cos2x-π3,
由2x-π3=kπ,k∈Z,解得x=π6+kπ2,
所以当k=-1时, x=-π3,故选D.
5.(2021·合肥模拟)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的外形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】选C.由正弦定理,得a2+b2<c2,
由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab<0,
所以C为钝角,故选C.
6.(2021·青岛模拟)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=
Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示,则当t=1100秒时,
电流强度是(　　)

A.-5安 B.5安 C.53安 D.10安
【解题提示】先由图象求函数的解析式,再由解析式解答.
【解析】选A.由图象可知,A=10,T=24300-1300=150,所以T=2πω=150,即ω=100π,
故I=10sin(100πt+φ),
代入点1300,10,得10=10sinπ3+φ,
即sinπ3+φ=1,
由于0<φ<π2,所以φ=π6,
所以I=10sin100πt+π6,
当t=1100时,I=10sinπ+π6=-5(安).故选A.
【一题多解】本题还可如下求解:
选A.由图象知图象与x轴的一个交点为
121300+4300=5600<1100.
结合图象易知当t=1100时,I<0,故选A.
7.在△ABC中,a=2,则b·cosC+c·cosB的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.由余弦定理知b·cosC+c·cosB=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=2a22a=a=2.
8.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f(x)≥fπ8恒成立,则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A.-38π,π8 B.-π8,38π
C.π8,58π D.π8,98π
【解题提示】先由题意求φ的值,再依据其解析式求f(x)的单调递减区间.
【解析】选A.由题意得fπ8=-2,
即-2sinπ4+φ=-2,sinπ4+φ=1.
由于|φ|<π,所以φ=π4,
故f(x)=-2sin2x+π4,
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,
所以f(x)的单调递减区间是kπ-38π,kπ+π8(k∈Z),故A正确.
9.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则
sin∠CED=(　　)

A.31010 B.1010 C.510 D.515
【解析】选B.由于四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,
所以∠AED=π4.在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,
所以sin∠BEC=55,cos∠BEC=255.
sin∠CED=sinπ4-∠BEC
=22cos∠BEC-22sin∠BEC
=22255-55=1010.
10.(2021·福州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanAtanB=2cb,则C=(　　)
A.π6 B.π4 C.π4或34π D.π3
【解题提示】切化弦化简已知条件求A,由正弦定理求sinC,进而求C.
【解析】选B.由于1+tanAtanB=2cb,
所以1+sinAcosBcosAsinB=2cb,
由于cosAsinB+sinAcosBcosAsinB=sin(A+B)cosAsinB
=sinCcosAsinB=ccosA·b,
所以ccosA·b=2cb,即cosA=12,所以A=π3,
由于a=23,c=22,
由正弦定理,得sinC=csinAa=22·3223=22,
由于c<a,所以C<A=π3,故C=π4.
【误区警示】解答本题易误选C,出错的缘由是忽视角C的取值范围,解题时要留意挖掘题中隐含的条件.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.已知sinπ5sinx+cos45πcosx=12,则锐角x=　　　　.
【解析】由于cos45π=cosπ-π5=-cosπ5,
所以sinπ5sinx-cosπ5cosx=12,
即-cosπ5+x=12,cosx+π5=-12,
由于x是锐角,所以x+π5=2π3,即x=715π.
答案:715π
12.(2021·石家庄模拟)若函数f(x)=sin(3x+φ),满足f(a+x)=f(a-x),则fa+π6的值为　 .
【解析】易知x=a为对称轴,所以f(a)=sin(3a+φ)=±1,则fa+π6=sin3a+φ+π2=cos(3a+φ)=0.
答案:0
【一题多解】本题还可如下解答:
由于x=a为对称轴,又f(x)的周期是2π3,故x=a+π3是与x=a相邻的对称轴,而x=a+π6是两相邻对称轴中间的f(x)的零点.即fa+π6=0.
答案:0
13.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(0)=　　　　.

【解析】由图象可知,A=2,3T2=13π4-π4=3π,
所以T=2π,所以T=2π=2πω,
所以ω=1,即函数f(x)=2sin(x+φ),
由五点对应法可知,当x=π4时,有π4+φ=2kπ,k∈Z,
所以φ=2kπ-π4,k∈Z,
所以f(x)=2sinx+2kπ-π4,k∈Z,
所以f(0)=2sin-π4=-2.
答案:-2
14.在△ABC中,若asinBcosC+csinBcosA=12b,且ac=4,则△ABC的面积为　　　　.
【解析】由正弦定理,得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB,
由于sinB≠0,所以sinAcosC+cosAsinC=12,
即sin(A+C)=12,
由于B=π-(A+C),所以sinB=12,
由于ac=4,所以S△=12acsinB=1.
答案:1
15.(2021·杭州模拟)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=13,则sin∠BAC=　　　　.
【解题提示】数形结合法.结合题意,画出图形,结合图形,用正弦定理和勾股定理求解.
【解析】如图:设AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM中由正弦定理得12asin∠BAM=csin∠BMA①,

由于sin∠BMA=sin∠CMA=ACAM,
又AC=b=c2-a2,
AM=b2+14a2=c2-34a2,
所以sin∠BMA=c2-a2c2-34a2.
又由①得12a13=cc2-a2c2-34a2,两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,
所以sin∠BAC=ac=63.
答案:63
【加固训练】在△ABC中,2sin2A2=3sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,则ACAB=　　　　　　.
【解析】2sin2A2=3sinA⇔1-cosA=3sinA⇔sinA+π6=12,
又0<A<π,所以π6<A+π6<7π6,
所以A+π6=5π6,所以A=2π3.
再由余弦定理,得a2=b2+c2+bc,　①
将sin(B-C)=2cosBsinC开放,
得sinBcosC=3cosBsinC,
所以将其角化边,得b·a2+b2-c22ab
=3·a2+c2-b22ac·c,即2b2-2c2=a2　②
将①代入②,得b2-3c2-bc=0,
左右两边同除以bc,得bc-3×cb-1=0,　③
解③得bc=1+132或bc=1-132(舍),
所以ACAB=bc=1+132.
答案:1+132
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)(2021·潍坊模拟)已知函数f(x)=a·b,a=(sinx,cosx),
b=(cosx,cosx).
(1)求f(x)的对称轴方程.
(2)若x∈π12,π2,求f(x)的取值范围.
【解析】(1)由于a·b=sinxcosx+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12,
所以f(x)=22sin2x+π4+12,
由2x+π4=kπ+π2(k∈Z)得x=kπ2+π8(k∈Z),
所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π8(k∈Z).
(2)由(1)f(x)=22sin2x+π4+12,
由于x∈π12,π2,所以2x+π4∈5π12,5π4,
所以sin2x+π4∈-22,1,
所以f(x)=22sin2x+π4+12∈0,1+22.
17.(12分)(2021·厦门模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsinA=3csinB,a=3,cosB=23.
(1)求b的值.
(2)求sin2B-π3的值.
【解析】(1)由于bsinA=3csinB,
由正弦定理可得ab=3bc,
由于a=3,所以c=1.
所以b2=a2+c2-2accosB=9+1-6×23=6,
故b=6.
(2)由于B∈(0,π),且cosB=23,所以sinB=53,
所以sin2B-π3=sin2Bcosπ3-cos2Bsinπ3=12sin2B-32cos2B
=sinBcosB-32×(2cos2B-1)=53×23-32×2×49-1=45+318.
18.(12分)(2021·黄山模拟)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的集合.
(2)若锐角三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且fA2=2,a=2,b=6,求△ABC的面积.
【解析】(1)f(x)=2sin2x+π4,
所以f(x)max=2.
由2x+π4=2kπ+π2,k∈Z,
即x的取值集合为x|x=kπ+π8,k∈Z.
(2)由(1)得fA2=2sin2·A2+π4=2.
由于A是△ABC的内角,所以A=π4.
由正弦定理asinA=bsinB得2sinπ4=6sinB,
即sinB=32,由△ABC为锐角三角形,
得B=π3,得C=5π12.
所以S△ABC=12absinC=12·2·6·6+24=3+32.
19.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a+cb=sinA-sinBsinA-sinC,
(1)求角C.
(2)求a+bc的取值范围.
【解题提示】(1)由正弦定理化角为边,由余弦定理利用边的关系求角C.
(2)由正弦定理化边为角,再利用角的范围求解.
【解析】(1)a+cb=sinA-sinBsinA-sinC=a-ba-c,
化简得a2+b2-c2=ab,
所以cosC=a2+b2-c22ab=12,又C∈(0,π),C=π3.
(2)a+bc=sinA+sinBsinC=23sinA+sin2π3-A
=2sinA+π6,
由于A∈0,2π3,又由A≠C,得a≠c,故A≠π3.
π6<A+π6<5π6,且A+π6≠π2,
所以sinA+π6∈12,1.
故a+bc的取值范围是(1,2).
20.(13分)(2021·龙岩模拟)已知向量m=(sinωx+cosωx,3cosωx),
n=(cosωx-sinωx,2sinωx),且f(x)=m·n,若f(x)相邻两对称轴的距离
不小于π2.
(1)求正实数ω的取值范围.
(2)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,a=3,b+c=3,当ω最大时,f(A)=1,试求△ABC的面积.
【解析】(1)f(x)=m·n=(sinωx+cosωx)·(cosωx-sinωx)+
23sinωxcosωx=cos2ωx+3sin2ωx=2sin2ωx+π6,由题设知
T2=12·2π2ω≥π2⇒0<ω≤1.
(2)由(1)知ωmax=1,此时f(A)=2sin2A+π6=1,由0<A<π⇒2A+π6=5π6,解得A=π3,在△ABC中,由余弦定理,得a2=3=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=32-3bc,故bc=2,于是S△ABC=12bcsinA=sinπ3=32.
21.(14分)(2021·铜陵模拟)已知函数f(x)=3sin2x+cos2x+12cosx.
(1)求f(x)的定义域和值域.
(2)若曲线f(x)在点P(x0,f(x0)) -π2<x0<π2处的切线平行于直线y=3x,求在点P处的切线方程.
【解析】(1)f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1+12cosx
=3sinx+cosx=2sinx+π6,
由2cosx≠0,得x≠kπ+π2(k∈Z),
所以f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z}.
x+π6≠kπ+2π3(k∈Z),
所以f(x)的值域为[-2,2].
(2)f′(x)=3cosx-sinx,
由题意得f′(x0)=3cosx0-sinx0
=2cosx0+π6=3,
所以cosx0+π6=32.
又由于-π3<x0+π6<2π3,所以x0+π6=π6或-π6,
所以x0=0或-π3.切点为P(0,1)或P-π3,-1,
切线方程为y=3x+1和y=3x+3π3-1.

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