2021届高考理科数学-立体几何及空间想象能力新题赏析-课后练习二.docx

立体几何及空间想象力量新题赏析
主讲老师：程敏 北京市重点中学教研组长

题一： 如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)

A．45° B．60°
C．90° D．120°

题二： 四周体的六条棱中，有五条棱长都等于a. 当四周体的体积最大时，求其表面积．

题三： 两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且相互外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为(　　)
A．(6－3)π B．(8－4)π
C．(6＋3)π D．(8＋4)π

题四： 如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.
(1)现给出三个条件：①PB＝；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；
(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．

专题 立体几何及空间想象力量新题赏析
课后练习参考答案
题一： B.
详解：连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.

题二： a2.
详解：如图，在四周体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，

△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，
∴S表＝2×a2＋2××a×
＝a2＋a×
＝a2＋
＝a2.
题三： A.
详解：设球O1、球O2的半径分别为r1、r2，
则r1＋r1＋r2＋r2＝，
r1＋r2＝，
从而4π(r＋r)≥4π·＝(6－3)π.
题四： (1)见详解. (2) .
详解：(1)选取条件①
在等腰直角三角形ABC中，
∵AB＝1，
∴BC＝1，AC＝.
又∵PA＝AC，∴PA＝.
∴在△PAB中，AB＝1，PA＝.
又∵PB＝，
∴AB2＋PA2＝PB2.
∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB.
又∵PA⊥AC，AB∩AC＝A，
∴PA⊥平面ABC.
(2)依题意得，由(1)可知PA⊥平面ABC，
V三棱锥P－ABC＝PA·S△ABC＝×××12＝.