六年级秋季知识点总结教学内容.doc

六年级秋季知识点总结

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第一讲 整数型计算
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】
【解析】 ，所以，
原式

从中还可以看出，
【答案】

【例 2】
【解析】

【答案】

第二讲 旋转体的计算
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 已知直角三角形的三条边长分别为，，，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(取)
【解析】 以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是，高是的圆锥体，体积为
以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是，高是的圆锥体，体积为
以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高的两个圆锥，高之和是的两个圆的组合体，体积为
【答案】30.144

【例 2】 如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的，乙容器中水的高度是锥高的，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？

【解析】 设圆锥容器的底面半径为，高为，则甲、乙容器中水面半径均为，则有，
，，
，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍．
【答案】倍

第三讲 十字交叉
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为 。
【解析】 抓住题中不变量---盐的重量．假设第一次加入水后盐水的重量为克，盐的重量为 克，第二次加水后的总重量为克，这样就可得出加水量是克，第三次加水后的重量是克，这时的盐水的含盐百分比是．
【答案】

【例 2】 1000千克葡萄含水率为96.5%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了多少千克。
【解析】 因为减少的是水的质量，其它物质的质量没有变化，设葡萄糖质量减少了，则有
解得
即葡萄糖的质量减少了125千克。
【答案】125

【例 3】 某班有学生48人，女生占全班的37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40％，问转来几名女生？
【解析】 浓度差之比1∶24， 48÷24×1=2人,重量之比 24∶1这是一道变换单位“1”的分数应用题需抓住男生人数这个不变量，如果按浓度问题做，就简单多了。转来2名女生。
【答案】2

第四讲 计数综合（1）
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【解析】 分为两类：个位数字为0的有个，个位数字为 2的有个，由加法原理，一共有：个没有重复数字的四位偶数．
【答案】

【例 2】 某班有人，其中人爱打篮球，人爱打排球，人爱踢足球，人既爱打篮球又爱踢足球，人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？
【解析】 由于全班人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有人．根据包含排除法，既爱打篮球又爱打排球的人数，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：(人)．
【答案】人

【例 3】 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34．
【解析】 【答案】我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉，,，，…，,凡是抽屉中的有两个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34．
　　 现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34

第五讲 约倍质合（1）
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 恰有8个约数的两位数有________个．
【解析】 根据约数个数公式，先将8进行分解：，所以恰有8个约数的数至多有3个不同的质因数，分解质因数后的形式可能为，，．其中由于，所以形式的没有符合条件的两位数；形式中，B不能超过3，即可能为2或3，有、、、、，共5个；形式的有、、、、，共5个．所以共有个符合条件的数．
【答案】10个

【例 2】 如果一些不同质数的平均数为21，那么它们中最大的一个数的最大可能值为 ．
【解析】 对于任意一组数，其中大于平均数的超出部分之和一定等于小于平均数的不足部分之和，所以为了使这些质数中最大的数更大，应该尽可能多地取小于21的质数，由于大于21的所有质数都是奇数，所以大于平均数21的超出部分之和一定是偶数，相应的所取的小于21的质数与21的差之和也应该是偶数，所以唯一的偶质数2是不能取的，因为它与21的差为奇数．剩下7个数的和是75，21×8-75=93，小于93的最大的质数是89．当这些质数取3，5，7，11，13，19，89时符合条件．
【答案】

【例 3】 是 的平方．
【解析】 ，，
原式．
【答案】7777777

第六讲 公式类行程问题（2）
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？
【解析】 两人反向沿环形跑道跑步时，每隔4分钟相遇一次，即两人4分钟共跑完一圈；当两人同向跑步时，每20分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要20分钟．两人速度和为：(米/分)，两人速度差为：(米/分)，所以两人速度分别为：(米/分)，(米/分)
【答案】米/分

【例 2】 钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？
【解析】 此题属于追及问题，但是追及路程是格（由原来的40格变为15格），速度差是，所以追及时间是：（分）。
【答案】分

第七讲 构造与论证（1）
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 在黑板上写上、、、、……、，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数和，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
【解析】 根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为是一个偶数，而每一次“操作”，将、两个数变成了，它们的和减少了，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．
所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．
【答案】偶数
【例 2】 在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?
【解析】 最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．
【答案】1997次

第八讲 直线型面积（2）
【知识地图】

【典型题型】

【例 1】 如图所示，正方形边长为6厘米，，．三角形的面积为_______平方厘米．

【解析】 由题意知、，可得．根据”共角定理”可得，
；而；所以；同理得，;，，
故(平方厘米)．
【答案】10

【例 2】 如图，中，，，与平行，的面积是1平方厘米．那么的面积是 平方厘米．

【解析】 因为，，与平行，
根据相似模型可知，，平方厘米，
则平方厘米，
又因为，所以(平方厘米)．
【答案】

第九讲 经济利润问题
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 商店以每件50元的价格购进一批衬衫，售价为70元，当卖到只剩下7件的时候，商店以原售价的8折售出，最后商店一共获利702元，那么商店一共进了多少件衬衫？
【解析】 (法1)将最后7件衬衫按原价出售的话，商店应该获利(元)，按原售价卖每件获利元，所以一共有件衬衫．
(法2)除掉最后7件的利润，一共获利(元)，所以按原价售出的衬衫一共有件，所以一共购进件衬衫．
【答案】

【例 2】 商店购进个十二生肖玩具，运途中破损了一些．未破损的好玩具卖完后，利润率为；破损的玩具降价出售，亏损了．最后结算，商店总的利润率为．商店卖出的好玩具有多少个？
【解析】 设商店卖出的好玩具有个，则破损的玩具有个．根据题意，有：
，解得．故商店卖出的好玩具有820个．
【答案】820个

第十讲 余数问题
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 求除以17的余数．
【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除
以17的余数．除以17的余数分别为2，7和11，．
【答案】

【例 2】 5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少____人。
【解析】 题意相当于：除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，这样我们根据总结知道都只能“凑缺”，所以都缺1，这样班级人数就是[3、4、5、6]-1=60-1=59人。
【答案】

第十一讲 行程中的图示解法
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 、两地相距，甲、乙两人同时从地出发，往返、两地跑步分钟．甲跑步的速度是每分钟；乙跑步的速度是每分钟．在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离点的距离最近？
【解析】 （分钟）．甲、乙两人合走一个全程需要分钟，每合走 个全程相遇一次，所以总共相遇次．而甲每分钟走（）并且与乙相遇一次，因为（）也就是当甲、乙两人第次相遇时甲离地为最小，在第次相遇时他们离点距离最近．
【答案】第7次

【例 2】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
【解析】 这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．
他先画了如下一幅图：

这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．
如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．
【答案】15艘

第十二讲 容斥与抽屉
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．
【解析】 设只参加合唱的有人，那么只参加跳舞的人数为，由人没有参加演奏、人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为人，即，得，所以只参加合唱的有人，那么只参加跳舞的人数为人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少人”，得到同时参加三项的有人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：人．
【答案】人

【例 2】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？
【解析】 首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有人.
　　　　该情况可以用线段图来构造和示意：

【答案】

第十三讲 方程方法综合
【知识地图】

【典型题型】
【例 1】 小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有45个球，但不知道每个人各有几个球，如果变动一下，小龙的球减少2个，小虎的球增加2个，小方的球增加一倍，小圆的球减少一半，那么四个人球的个数就一样多了．求原来每个人各有几个球？
【解析】 设变动后四个孩子都有球个，则变动前这四个孩子拥有的球数分别为、、、；则可列方程得，化简为，解得；因此，原来这四个孩子分别有球12、8、5、20个．
【答案】分别有球12、8、5、20个

【例 2】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在人到人之间，求每辆大巴车的载客人数．
【解析】 设大巴车和中巴车的载客人数分别为人和人，那么有：．
考虑等式两边除以7的余数，由于被除余，所以被除余，符合条件的有：、、、，所以，继而求得，所以大巴车的载客人数为人．
【答案】大巴车的载客人数为人

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