2021高考数学(文)一轮知能检测：第8章-第6节-双曲线.docx

第六节　双 曲 线

[全盘巩固]
1．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A　由于双曲线的焦距为10，所以c＝5.
又由于P(2,1)在渐近线上，且渐近线方程为y＝x，
所以1＝，即a＝2b.
又由于c2＝a2＋b2＝5b2＝25，所以b2＝5，a2＝20.
即双曲线方程为－＝1.
2．(2021·福建高考)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A. B. C．1 D.
解析：选B　双曲线x2－y2＝1的顶点为(－1,0)，(1,0)，渐近线方程为x＋y＝0和x－y＝0，由对称性不妨求点(1,0)到直线x－y＝0的距离，其距离为＝.
3．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
解析：选C　由于双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，
所以c＝3，又b2＝5，所以a2＝c2－b2＝9－5＝4.即a＝2.所以双曲线的离心率e＝＝.
4．(2022·惠州模拟)已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：选C　∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则由题意得>2.
∴e＝＝ >＝.
5．已知双曲线－＝1(b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上．则·＝(　　)
A．－ 12 B．－2 C．0 D．4
解析：选C　由渐近线方程为y＝x知双曲线是等轴双曲线，不妨设双曲线方程是x2－y2＝2，于是F1，F2坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．由双曲线的对称性，不妨取P(，1)，则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)·(2－)＋1＝0.
6．(2022·杭州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在其次象限的交点为P，若双曲线C的离心率为5，则cos∠PF2F1＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：选C　据题意可知PF1⊥PF2，设|PF1|＝n，|PF2|＝m，又由双曲线定义知m－n＝2a　①；由勾股定理得m2＋n2＝4c2　②；又由离心率e＝＝5　③，三式联立解得m＝8a，故cos∠PF2F1＝＝＝＝.
7．(2021·江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________________．
解析：由于双曲线－＝1的两条渐近线方程为－＝0，化简得y＝±x.
答案：y＝±x
8．(2021·陕西高考)双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
解析：依题意知m>0，则e2＝＝1＋＝1＋＝，解得m＝9.
答案：9
9．(2022·丽水模拟)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
解析：不妨设点P在双曲线的右支上且F1，F2分别为左、右焦点，
由于PF1⊥PF2，所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，
又由于|PF1|－|PF2|＝2，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，
则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，
所以|PF1|＋|PF2|＝2.
答案：2
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点P(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，m2＝3.
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，△F1MF2的边F1F2上的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝·|F1F2|·|m|＝6.
11．(2022·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，
∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
∴x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c，
∴点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，
∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
∴34－82＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e>1，∴e＝，
∴双曲线的离心率为.
12．设双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；
(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.
∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2.
∴双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)．
∵2|AB|＝5|F1F2|，
∴|AB|＝|F1F2|＝×2c＝10.
∴＝10.
又y1＝x1，y2＝－x2,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，
∴y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
∴ ＝10，
∴3(2y)2＋(2x)2＝100，即＋＝1.
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为的椭圆．
[冲击名校]
1．已知P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：选C　由·＝0，得⊥，设||＝m，||＝n，不妨设m>n，则m2＋n2＝4c2，m－n＝2a，mn＝9，＝，解得∴b＝3，∴a＋b＝7.
2．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为　(　　)
A. B. C. D.
解析：选C　由题知A点坐标为(a,0)，
∴过A且斜率为－1的直线方程为y＝－x＋a，
由得C，
由得B.
∵A，B，C三点横坐标成等比数列，
∴＝，即b＝3a，
∴e＝ ＝.
[高频滚动]
已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：mx＋ny＝1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．
解：(1)直线x＋ky－3＝0经过定点F(3,0)，即点F(3,0)是椭圆C的一个焦点．
设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由于椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a＋3＝8，即a＝5.
所以b2＝52－32＝16.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由于点P(m，n)在椭圆C上，
所以＋＝1，
即n2＝16－(0≤m2≤25)．
所以原点到直线l：mx＋ny＝1的距离d＝＝<1.
所以直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1恒相交．
L2＝4(r2－d2)＝4.
由于0≤m2≤25，所以≤L≤.
即直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围为.