2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-4-立体几何.docx

立体几何

一、填空题
1．(2022·徐州质检)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．
解析　　利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.
答案　6π
2．(2022·苏、锡、常、镇调研)已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD＝2.将△ABC沿AD折成60°的二面角，连接BC，则三棱锥C­ABD的体积为________．
解析　　由题意可得∠CDB＝60°，DC＝DB，所以△DCB是边长为2的等边三角形，且AD⊥平面DCB，所以三棱锥C­ABD的体积为S△BCD·AD＝××2×2sin 60°×2＝.
答案　
3．(2022·淮安信息卷)棱长为的正四周体的外接球半径为________．
解析　　棱长为的正四周体可以放入棱长为1的正方体内，所以其外接球直径为2R＝，则该外接球的半径为.
答案　
4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中全部能推得a⊥b的条件是________(填序号)．
①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；
③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β.
解析　　由①a⊂α，b∥β，α⊥β可能得到两直线垂直，平行或异面，②③④均能得到两直线垂直，故填写②③④.
答案　②③④
5. 如图，正方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

解析　　∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝AC＝×2＝.
答案　
6．(2022·南通、扬州、泰州、宿迁调研)设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)．
解析　　由于m是平面α内的任意一条直线，若l⊥m，则l⊥α，所以充分性成立；反过来，若l⊥α，则l⊥m，所以必要性成立，故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件．
答案　充要
7．(2022·泰州模拟)在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上(M，N不与B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．以上4个结论中，正确结论的序号是________．
解析　　过M作MP∥AB交BB1于P，连接NP，则平面MNP∥平面A1C1，所以MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.当M与B1重合，N与C1重合时，则A1C1与MN相交，所以①③正确．
答案　①③
8．(2022·扬州中学模拟)在正三棱锥P­ABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN⊥平面PBC，则此棱锥中侧面积与底面积的比为________．

解析　　取BC的中点D，连接AD，PD，且PD与MN的交点为E.由于AM＝AN，E为MN的中点，所以AE⊥MN，又截面AMN⊥平面PBC，所以AE⊥平面PBC，则AE⊥PD，又E点是PD的中点，所以PA＝AD.设正三棱锥P­ABC的底面边长为a，则侧棱长为a，斜高为a，则此棱锥中侧面积与底面积的比为＝.
答案　
二、解答题
9. (2022·泰州学情调研)如图，在四棱锥O ­ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：

(1)平面BDO⊥平面ACO；
(2)EF∥平面OCD.
证明　(1)∵OA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OA⊥BD，
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又OA∩AC＝A，∴BD⊥平面OAC，
又∵BD⊂平面OBD，∴平面BDO⊥平面ACO.

(2)取OD中点M，连接EM，CM，则ME∥AD，ME＝AD，
∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵F为BC的中点，∴CF∥AD，CF＝AD，
∴ME∥CF，ME＝CF.∴四边形EFCM是平行四边形，
∴EF∥CM，
又∵EF⊄平面OCD，CM⊂平面OCD.
∴EF∥平面OCD.
10．(2022·威海一模)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF相互垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．

(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；
(2)求证：PM∥平面AFC；
(3)求多面体CD－AFEB的体积V.
(1)证明　∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF相互垂直，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABEF，
又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，
又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝，
∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，
又BF∩CB＝B，
∴AF⊥平面CFB，
又∵AF⊂平面ADF，
∴平面ADF⊥平面CBF.
(2)证明　连接OM并延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，
∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，
∴PH∥平面AFC，
连接PO，则PO∥AC，
又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，
∴PO∥平面AFC，又∵PO∩PH＝P，
∴平面POH∥平面AFC，
又∵PM⊂平面POH，
∴PM∥平面AFC.
(3)解　多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和．
在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝.
所以VC－BEF＝S△BEF×CB＝××1××1＝，
VF－ABCD＝S矩形ABCD×EE1＝×2×1×＝，
所以V＝VC－BEF＋VF－ABCD＝.
11．(2022·衡水调研考试)如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.

(1)试推断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求棱锥E－DFC的体积；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？假如存在，求出的值；假如不存在，请说明理由．
解　(1)AB∥平面DEF，理由如下：
在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF∥AB.
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF.∴AB∥平面DEF.
(2)∵AD⊥CD，BD⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD.
取CD的中点M，这时EM∥AD，
∴EM⊥平面BCD，EM＝1.
VE－DFC＝××EM＝×××2×2×1＝.
(3)在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.
证明如下：在线段BC上取点P，使BP＝，
过P作PQ⊥CD于Q.
∵AD⊥平面BCD，PQ⊂平面BCD，
∴AD⊥PQ.又∵AD∩CD＝D，∴PQ⊥平面ACD，
∴DQ＝＝，∴tan∠DAQ＝＝＝，
∴∠DAQ＝30°，在等边△ADE中，∠DAQ＝30°，
∴AQ⊥DE，
∵PQ⊥平面ACD，DE⊂平面ACD，
∴PQ⊥DE，AQ∩PQ＝Q，
∴DE⊥平面APQ，
∴AP⊥DE.此时BP＝，∴＝.