2021届高考数学总复习课时训练：第5章-数-列第5课时-数列的简单应用-.docx

第五章　数　　列第5课时　数列的简洁应用

1. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________．
答案：－6
解析：a＝a1a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，所以a2＝－6.
2. 已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________．
答案：31
解析：设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.由a4与2a7的等差中项为，得a4＋2a7＝2×，∴a7＝＝.∴q3＝＝，即q＝.a4＝a1q3＝a1×＝2，∴a1＝16，
S5＝＝31.
3. 已知{an}是公比为q的等比数列，若a4，a5＋a7，a6成等差数列，则q＝________．
答案：
解析：a4，a5＋a7，a6成等差数列，∴ 2(a5＋a7)＝a4＋a6，
∴ 2(a4q＋a6q)＝a4＋a6，∴ q＝.
4. 已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．
答案：3
解析：a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，
即a1d－2d2＝0.又d≠0，∴a1＝2d.
公比q＝＝＝3.
5. 已知数列{an}是各项都是正数的等比数列，若a2，a3，2a1成等差数列，则＝________．
答案：
解析：2×a3＝2a1＋a2，即a1q2＝2a1＋a1q，q2－q－2＝0，解得q＝－1或2.
∵ an>0，q>0，∴ q＝2.＝＝＝.
6. 若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的积，则称该数列为“m积数列”．若正项等比数列{an}是一个“2 012积数列”，且a1>1，则其前n项的积最大时，n＝________．
答案：1 005或1 006
解析：依据条件可知a1a2a3…a2022＝a2022，
故a1a2a3…a2011＝1，即a＝1，
故a1006＝1，而a1>1，故{an}的公比0<q<1，则0<a1007<1，a1005>1，故数列{an}的前n项的积最大时，n＝1005或1006.

7. 如图，将数列{an}中的全部项按每一行比上一行多两项的规章排成数表．已知表中的第一列a1，a2，a5，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列．若a4＝5，a86＝518，则d＝________.

答案：1.5
解析：第2行成公差为d的等差数列，可得：a2＝a4－2d＝5－2d，第n行的数的个数为2n－1，从第1行到第n行的全部数的个数总和为＝n2，86＝92＋5，第10行的前几个数为：a82，a83，a84，a85，a86，…，所以a86是第10行第5个数，所以a82＝a86－4d＝518－4d.第一列a1，a2，a5，a10，a17，a26，a37，a50，a65，a82，…构成一个公比为2的等比数列，故有a82＝a2·28518－4d＝(5－2d)·28，解得d＝1.5.
8. 各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4－a1＝88，则q的全部可能的值构成的集合为________．
答案：
解析：设这四个数为a1，a1＋d，a1＋2d，a1＋88，其中a1，d均为正偶数，则(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋88)，整理得a1＝>0(留意体会这里用“a1>0”而不用“a1≥2”的好处，实际是一种估算力气)，所以(d－22)(3d－88)<0，即22<d<，所以d的全部可能值为24，26，28.当d＝24时，a1＝12，q＝；当d＝26时，a1＝(舍去)；当d＝28时，a1＝168，q＝，所以q的全部可能值构成的集合为.
9. 已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1＋3<a3，a2＋5>a4；数列{bn}满足bn＝，其前n项和为Sn.
(1) 求数列{an}的通项公式an；
(2) 若S2为S1、Sm(m∈N*)的等比中项，求正整数m的值．
解：(1) 由题意，得解得<d<.
又d∈Z，∴ d＝2.∴ an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
(2) ∵ bn＝＝
＝，
∴ Sn＝[＋＋…＋]＝＝.
∵ S1＝，S2＝，Sm＝，S2为S1、Sm(m∈N)的等比中项，
∴ S＝SmS1，即＝·，解得m＝12.
10. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.
(1) 求数列{an}的通项公式及前n项和公式；
(2) 设数列{bn}的通项公式为bn＝，问： 是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N*)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1) 设等差数列{an}的公差为d.
由已知得即解得
故an＝2n－1，Sn＝n2.
(2) 由(1)知bn＝.要使b1，b2，bm成等差数列，必需2b2＝b1＋bm，即2×＝＋，整理得m＝3＋.由于m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4.故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．
11. 设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1) 求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2) 试求全部的正整数m，使得为数列{an}中的项．
解：(1) 设公差为d，则由a－a＝a－a，得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)．由于d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.
又S7＝7，得7a1＋d＝7，解得a1＝－5，d＝2，
所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.
(2) (解法1)＝，设2m－3＝t，
则＝＝t＋－6，所以t为8的约数．
由于t是奇数，所以t可取的值为±1，当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3，2×5－7＝3，是数列{an}中的项；
当t＝－1，m＝1时，t＋－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5，不符合．所以满足条件的正整数m＝2.
(解法2)由于＝＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数．又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1，2.经检验，符合题意的正整数m为2