【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：7.2.docx

第七章 7.2第2课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．0＜m＜1，则不等式(x－m)(x－)＜0的解集为(　　)
A．{x|＜x＜m}　　　　　　　B．{x|x＞或x＜m}
C．{x|x＞m或x＜} D．{x|m＜x＜}
答案　D
解析　当0<m<1时，m<
2．若集合M＝{y|y＝x2，x∈Z}，N＝{x∈R|≤1}，则M∩N的真子集的个数是(　　)
A．15 B．7
C．16 D．8
答案　B
解析　由N＝{x|－4≤x<9}，M∩N＝{4,1,0}
真子集个数23－1＝7.
3．函数y＝的定义域是(　　)
A．[－，－1)∪(1，] B．[－，－1]∪(1，)
C．[－2，－1)∪(1,2] D．(－2，－1)∪(1,2)
答案　A
解析　由得[－，－1)∪(1，]．
4．已知集合M＝{x|x2－2008x－2009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]，则(　　)
A．a＝2009，b＝－2010 B．a＝－2009，b＝2010
C．a＝2009，b＝2010 D．a＝－2009，b＝－2010
答案　D
解析　化简得M＝{x|x<－1或x>2009}，
由M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010是方程x2＋ax＋b＝0的两个根．
所以b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即a＝－2009.
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)>0，f(2)＝，则m的取值范围是 (　　)
A．m< B．m<且m≠1
C．－1<m< D．m>或m<－1
答案　C
解析　由题意得f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)<0，即<0，∴－1<m<，故选C.
6.

已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为 (　　)
A．(2,3)∪(－3，－2)
B．(－，)
C．(2,3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案　A
解析　由导数图象知当x<0时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数；
当x>0时，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
故不等式f(x2－6)>1等价于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即或0≤x2－6<3，解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．
7．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪[1，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪[1，＋∞)
答案　B
解析　∵f(x0)>1，∴或，解得x0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
8．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式 (x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是(　　)
A．(－，) B．(－，)
C．(－1,1) D．(0,2)
答案　A
解析　由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，∴－x2＋x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立．
解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，∴4y2－4y－3<0，解得－<y<.故选A.
解法2：即y2－y<x2－x＋1对x∈R恒成立，∴y2－y<(x2－x＋1)min＝.
∴y2－y<，解之得－<y<.
二、填空题
9．不等式>0的解集是________．
答案　(－4,2)
解析　考查分式不等式的解法>0等价于(x－2)(x＋4)<0，所以－4<x<2.
10．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．
答案　－1<a<1
解析　f(x)＝x2＋ax＋a2－1＝0有一正一负根，则f(0)<0得a2－1<0⇒－1<a<1.
11．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围________________________________________________．
答案　－2≤a<
解析　当a2－4＝0，即a＝－2或a＝2时，当a＝2时不等式为4x－1≥0，解集不是空集
当a＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a＝－2符合题意．
当a2－4≠0时，需
解得－2<a<.
综上可知－2≤a<.
12．关于x的不等式x2－(a＋＋1)x＋a＋<0(a>0)的解集为________．
答案　(1，a＋)
解析　不等式可化为[x－(a＋)](x－1)<0，
∵a>0，
∴a＋≥2>1.
∴该不等式的解集为(1，a＋)．
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
答案　(－∞，－2)∪(3，＋∞)
解析　方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可．
三、解答题
14．关于x的不等式组
的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
解析　解x2－x－2>0得x>2或x<－1
解2x2＋(2k＋5)x＋5k<0(有解集)
得(2x＋5)(x＋k)<0由原不等式组，整数解为{－2}．得
－<x<－k，∴－2<－k≤3　∴－3≤k<2.
15．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．
证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.
证明　易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R,2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1.
于是c≥1，且c≥2＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.
故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.
即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.
16．设函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f(1－ax－x2)<f(2－a)对于任意x∈[0,1]都成立？若存在，试求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析　首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最终转化为二次函数区间最值问题．
解析　由于f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f(1－ax－x2)<f(2－a)对任意x∈[0,1]都成立⇔不等式1－ax－x2<2－a对于任意x∈[0,1]都成立．
即不等式x2＋ax－a＋1>0在x∈[0,1]上恒成立．
方法一　令g(x)＝x2＋ax－a＋1，只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可．
g(x)＝x2＋ax－a＋1＝2－－a＋1.
①当－<0，即a>0时，g(x)min＝g(0)＝1－a>0⇒a<1，故0<a<1；
②当0≤－≤1，即－2≤a≤0时，
g(x)min＝g＝－－a＋1>0
⇒－2－2<a<－2＋2，
故－2≤a≤0；
③当－>1，即a<－2时，g(x)min＝g(1)＝2>0，满足，故a<－2.
故存在实数a，使得不等式f(1－ax－x2)<f(2－a)对于任意x∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．
方法二　由1－ax－x2<2－a得(1－x)a<x2＋1，
∵x∈[0,1]，∴1－x≥0，
∴①当x＝1时，0<2恒成立，此时a∈R；
②当x∈[0,1)时，a<恒成立．
求当x∈[0,1)时，函数y＝的最小值．
令t＝1－x(t∈(0,1])，则
y＝＝＝t＋－2，
而函数y＝t＋－2是(0,1]上的减函数，
所以当且仅当t＝1，即x＝0时，ymin＝1.
故要使不等式在[0,1)上恒成立，只需a<1，
由①②得a<1.
故存在实数a，使得不等式f(1－ax－x2)<f(2－a)对于任意x∈[0,1]都成立，
其取值范围是(－∞，1)．

老师备选题

1．(苏北四市调研)若关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为Ø，则实数a的取值范围为________．
答案　[，＋∞)
解析　解法1：原命题可等价于不等式ax2－|x|＋2a≥0对于任意的实数x均成立，即a(x2＋2)≥|x|对于任意的实数x均成立，由于x2＋2>0且|x|≥0，故a>0，分别作出f1(x)＝a(x2＋2)和f2(x)＝|x|的图象如图：

依据图象的对称性，只需争辩x≥0时满足即可，当x≥0，二者相切时，应有f1′(x)＝2ax＝1，此时x＝，所以，欲使原命题成立，只需满足f1()≥f2()，即a×＋2a≥⇒8a2≥1，解之得a≥(a≤－舍去)．
解法2：令t＝|x|≥0，原不等式可化为at2－t＋2a<0在t≥0不存在，即at2－t＋2a≥0在t≥0恒成立，∴或解之得a≥
2．设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2.
(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值；
(2)求证：x1<－1且x2<－1；
(3) 假如∈[，10]，试求a的最大值．
解析　(1)(1＋x1)(1＋x2)＝1＋(x1＋x2)＋x1x2＝1－＋＝1.
(2)令f(x)＝ax2＋x＋1，由Δ＝1－4a≥0，
得0<2a≤，∴抛物线f(x)的对称轴
x＝－≤－2<－1.
又f(－1)＝a>0，
∴f(x)图象与x轴的交点都在点(－1,0)的左侧，
故x1<－1，且x2<－1.
(3)由(1)，x1＝－1＝－.
＝－∈[，10]，
所以－∈[，]．
所以a＝＝－＝－[(－)－]2＋.
故当－＝时，a取得最大值为.