2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：选修4-2-矩阵与变换.docx

选修4－2　矩阵与变换A

[最新考纲]
1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．
2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．
3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简洁性质．
4．理解逆矩阵的意义，会求出简洁二阶逆矩阵．
5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.

知 识 梳 理

1．矩阵的乘法规章
(1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵的乘法规章：
[a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]．
(2)二阶矩阵与列向量的乘法规章：
＝.
设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则
①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；
③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍旧是一个矩阵，其乘法法则如下：
＝

性质：①一般状况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩阵的乘法不满足消去律．
2．矩阵的逆矩阵
(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.
(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A＝(detA＝ad－bc≠0)，它的逆矩阵为
A－1＝.
(3)逆矩阵与二元一次方程组：假如关于变量x，y的二元一次方程组的系数矩阵A＝可逆，那么该方程组有唯一解＝－1，
其中A－1＝.
3．二阶矩阵的特征值和特征向量
(1)特征值与特征向量的概念
设A是一个二阶矩阵，假如对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．
(2)特征多项式与特征方程
设λ是二阶矩阵A＝的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝，则A＝λ，
即满足二元一次方程组
故⇔＝(*)

则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式
＝0.记f(λ)＝为矩阵A＝的特征多项式；方程＝0，即f(λ)＝0称为矩阵A＝的特征方程．
(3)特征值与特征向量的计算
假如λ是二阶矩阵A的特征值，则λ是特征方程f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0的一个根．
解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解
记ξ1＝，ξ2＝.
则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A＝的特征值，ξ1＝，ξ2＝为矩阵A的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．
诊 断 自 测
1. ＝________.
解析　＝＝.
答案　
2．若A＝，B＝，则AB＝________.
解析　AB＝
＝
＝.
答案　
3．设A＝，B＝，则AB的逆矩阵为________．
解析　∵A－1＝，B－1＝
∴(AB)－1＝B－1A－1＝ ＝.
答案　
4．函数y＝x2在矩阵M＝变换作用下的结果为________．
解析　 ＝＝⇒x＝x′，y＝4y′，
代入y＝x2，得y′＝x′2，即y＝x2.
答案　y＝x2
5．若A＝，则A的特征值为________．
解析　A的特征多项式f(λ)＝
＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，
∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.
答案　7和－4

考点一　矩阵与变换
【例1】 (2022·苏州市自主学习调查)已知a，b是实数，假如矩阵M＝所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．
解　设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则 ＝，
所以
由于点(x′，y′)，在直线x＋2y＝1上，所以
(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即
所以
规律方法 理解变换的意义，把握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．
【训练1】 已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T.
解　设T＝，则T：→＝ ＝＝，解得
T：→＝ ＝＝，
解得综上可知T＝.
考点二　二阶逆矩阵与二元一次方程组
【例2】 已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．
解　依题意得由M＝，得|M|＝1，
故M－1＝.
从而由＝得＝＝＝，故∴A(2，－3)为所求．
规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB)－1＝B－1A－1性质的应用．
【训练2】 已知矩阵A＝，
(1)求矩阵A的逆矩阵；
(2)利用逆矩阵学问解方程组
解　(1)法一　设逆矩阵为A－1＝，
则由＝，得
解得A－1＝.
法二　由公式知若A＝＝，

(2)已知方程组
可转化为
即AX＝B，其中A＝，X＝，B＝，且由(1)，
得A－1＝.
因此，由AX＝B，同时左乘A－1，有
A－1AX＝A－1B＝＝.
即原方程组的解为
考点三　求矩阵的特征值与特征向量
【例3】 已知a∈R，矩阵A＝对应的线性变换把点P(1,1)变成点P′(3,3)，求矩阵A的特征值以及每个特征值的一个特征向量．
解　由题意 ＝＝，
得a＋1＝3，即a＝2，矩阵A的特征多项式为
f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，
令f(λ)＝0，所以矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝3.
①对于特征值λ1＝－1，
解相应的线性方程组得一个非零解
因此，α＝是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；
②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组
得一个非零解
因此，β＝是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．
规律方法 已知A＝，求特征值和特征向量，其步骤为：
(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；
(2)列方程组
(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．
【训练3】 (2022·扬州质检)已知矩阵M＝，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．
解　由矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝
(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．
设矩阵M的特征向量为，
当λ1＝2时，由M＝2，
可得
可令x＝1，得y＝1，
∴α1＝是M的属于λ1＝2的特征向量．
当λ2＝4时，由M＝4，
可得
取x＝1，得y＝－1，
∴α2＝是M的属于λ2＝4的特征向量．

用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程
【典例】 二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．
(1)求矩阵M；
(2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．
[审题视点]　(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解．
(2)知道直线l在变换T作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法．
解　(1)设M＝，则＝，
＝，
所以且解得
所以M＝.
(2)由于＝＝且m：x′－y′＝4，
所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，
即x＋y＋2＝0，∴直线l的方程是x＋y＋2＝0.
[反思感悟]　(1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．
(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .
(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误．
【自主体验】
(2022·南京金陵中学月考)求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝，N＝ .
解　MN＝＝.
设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′(x，y)，
则＝＝，
于是x′＝x，y′＝x＋，
代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1.
所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.

一、填空题
1．已知变换T：→＝，则该变换矩阵为________．
解析　可写成＝.
答案　
2．计算等于________．
解析　＝＝.
答案　
3．矩阵的逆矩阵为________．
解析　＝5，∴的逆矩阵为.
答案　
4．若矩阵A＝把直线l：2x＋y－7＝0变换成另始终线l′：9x＋y－91＝0，则a＝________，b＝________.
解析　取l上两点(0,7)和(3.5,0)，
则＝，＝.
由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在l′上，代入得a＝0，b＝－1.
答案　0　－1
5．矩阵M＝的特征值为________．
解析　f(λ)＝＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0.
∴λ＝0或λ＝3.
答案　0或3
6．已知矩阵M＝，α＝，β＝，则M(2α＋4β)＝________.
解析　2α＋4β＝＋＝，M(2α＋4β)＝＝.
答案　
7．曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝的作用下变换为曲线C2，则C2的方程为________．
解析　设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，
则＝，即⇒
由于P′是曲线C1上的点，
所以C2的方程为(x－2y)2＋y2＝1.
答案　(x－2y)2＋y2＝1
8．已知矩阵A＝，B＝，则满足AX＝B的二阶矩阵X为________．
解析　由题意，得A－1＝ AX＝B，
∴X＝A－1B＝.
答案　
9．已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是，则矩阵A为________．
解析　设A＝，由＝，得
由＝3＝，得所以
所以A＝.
答案　
二、解答题
10．(2022·江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．
解　由于AA－1＝E，所以A＝(A－1)－1.

由于A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，
于是矩阵A的特征多项式为
f(λ)＝＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
11．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.
(1)求矩阵A；(2)若向量β＝，计算A5β的值．
解　(1)A＝.
(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝，当λ2＝3时，得α2＝.
由β＝mα1＋nα2，得解得m＝3，n＝1.
∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝.
12．(2022·福建卷)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求A2的逆矩阵．
解　(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．
由＝＝，得
又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，
即a2x2＋(bx＋y)2＝1，
整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1，
依题意得解得或
由于a＞0，所以
(2)由(1)知，A＝，A2＝＝.
所以|A2|＝1，(A2)－1＝.