2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第七章第6课时.docx

基础达标 1已知 a(2，3，4)，b(4，3，2)，b12x2a，则 x 等于()A(0，3，6)B(0，6，20)C(0，6，6)D(6，6，6)解析：选 B由 b12x2a，得 x4a2b(8，12，16)(8，6，4)(0，6，20)2设 A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，AB 的中点为 M，则|CM|等于()A534 B532 C532 D132 解析：选 C设 M(x，y，z)，则 x3122，y30232，z1523，即 M2，32，3，|CM|（20）23212（30）2532.3已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E 为上底面 A1C1的中心，若AEAA1xAByAD，则 x，y 的值分别为()Ax1，y1 Bx1，y12 Cx12，y12 Dx12，y1 解析：选 C 如图，AEAA1A1EAA112A1C1AA112(ABAD)，所以 x12，y12.4已知AB(1，5，2)，BC(3，1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且 BP平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为()A337，157，4 B407，157，4 C407，2，4 D4，407，15 解析：选 BABBC，AB BC0，即 352z0，得 z4.又 BP平面 ABC，BPAB，BPBC，BC(3，1，4)，则（x1）5y60，3（x1）y120，解得x407，y157.5(2022 山东青岛调研)正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在AC1上且AM12MC1，N 为 B1B 的中点，则|MN|为()A216 B66 C156 D153 解析：选 A如图，设ABa，ADb，AA1c，则 a bb cc a0.由条件知MNMAABBN13(abc)a12c23a13b16c，MN249a219b2136c22136，|MN|216.6在空间直角坐标系中，点 P(1，2，3)，过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ，点 Q 在平面 yOz 上，则垂足 Q 的坐标为_ 解析：由题意知点 Q 即为点 P 在平面 yOz 内的射影，所以垂足 Q 的坐标为(0，2，3)答案：(0，2，3)7(2022 江苏徐州模拟)给出下列命题：|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件；若 a 与 b 共面，则 a 与 b 所在的直线在同一平面内；若OP12OA13OB，则 P，A，B 三点共线其中不正确命题的序号是_ 解析：只有当向量 a，b 共线反向且|a|b|时成立，故不正确；当 a 与 b 共面时，向量 a 与 b 所在的直线平行、相交或异面，故不正确；由12131 知，三点不共线，故不正确综上可得均不正确 答案：8(2022 浙江杭州模拟)在空间直角坐标系中，以点 A(4，1，9)，B(10，1，6)，C(x，4，3)为顶点的ABC是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数 x 的值为_ 解析：由题意知AB(6，2，3)，AC(x4，3，6)又AB AC0，|AB|AC|，可得 x2.答案：2 9已知空间三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 aAB，bAC，(1)求 a 和 b 的夹角 的余弦值；(2)若向量 kab 与 ka2b 相互垂直，求 k 的值 解：A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，aAB，bAC，a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)cos a b|a|b|1002 51010，a 和 b 的夹角 的余弦值为1010.(2)kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k28 2k2k100.则 k52或 k2.10如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算：(1)EF BA；(2)EG 的长；(3)异面直线 EG 与 AC 所成角的大小 解：设ABa，ACb，ADc，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，EF12BD12c12a，BAa，DCbC(1)EF BA(12c12a)(a)12a c12a2 141214.(2)EGEBBCCG 12AB(ACAB)12(ADAC)12AB12AC12AD12a12b12c，EG214(abc)2 14(a2b2c22a b2a c2b c)12，|EG|22，即 EG 的长为22.(3)由(2)知，EG AC(12a12b12c)b 12a b12b212c b12，cosEG，ACEG AC|EG|AC|1222 122.故异面直线 EG 与 AC 所成的角为 45.力气提升 1设 A，B，C，D 是空间不共面的四个点，且满足AB AC0，AD AC0，AD AB0，则BCD 的外形是()A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D无法确定 解析：选 CBC BD(ACAB)(ADAB)AC ADAC ABAB ADAB2AB20.同理DB DC0，CB CD0.故BCD 为锐角三角形 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 为正方形 A1B1C1D1四边上的动点，O 为底面正方形 ABCD 的中心，M，N 分别为 AB，BC 的中点，点 Q 为平面 ABCD 内一点，线段 D1Q 与 OP 相互平分，则满足MQMN的实数 的值有()A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解析：选 C建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则 P(x，y，2)，O(1，1，0)，OP 的中点坐标为x12，y12，1.又知 D1(0，0，2)，Q(x1，y1，0)，而 Q 在 MN 上，xQyQ3，xy1，即点 P 坐标满足 xy1.有 2 个符合题意的点 P，即对应有 2 个.3在下列条件中，使 M 与 A、B、C 确定共面的是_ OM2OAOBOC；OM15OA13OB12OC；MAMBMC0；OMOAOBOC0.解析：MAMBMC0，MAMBMC，则MA、MB、MC为共面对量，即 M、A、B、C 四点共面 答案：4.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别是棱 BC，DD1上的点，假如 B1E平面 ABF，则|CE|与|DF|的和的值为_ 解析：以 D1A1、D1C1、D1D 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设|CE|x，|DF|y，则易知 E(x，1，1)，B1(1，1，0)，B1E(x1，0，1)又 F(0，0，1y)，B(1，1，1)，FB(1，1，y)，由于 ABB1E，故若 B1E平面 ABF，只需FB B1E(1，1，y)(x1，0，1)0 xy1.答案：1 5.如图，在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1中，E，F 分别是棱 AB，BC 上的动点，且 AEBFx，其中 0 xa，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.(1)写出点 E，F 的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若 A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F12A1C1A1E.解：(1)E(a，x，0)，F(ax，a，0)(2)证明：A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，A1F(x，a，a)，C1E(a，xa，a)，A1F C1Eaxa(xa)a20，A1FC1E，A1FC1E.(3)证明：A1，E，F，C1四点共面，A1E，A1C1，A1F共面 选A1E与A1C1为一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使A1F1A1C12A1E，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，xa1aa1x2aa2，解得 112，21.于是A1F12A1C1A1E.6.(选做题)如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，ABC90，PD平面 ABCD，AD1，AB 3，BC4.(1)求证：BDPC；(2)设点 E 在棱 PC 上，PEPC，若 DE平面 PAB，求 的值 解：(1)证明：如图，在平面 ABCD 内过点 D 作直线 DFAB，交 BC 于点 F，以 D 为坐标原点，DA、DF、DP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则 A(1，0，0)，B(1，3，0)，D(0，0，0)，C(3，3，0)设 PDa，则 P(0，0，a)，BD(1，3，0)，PC(3，3，a)BD PC330，BDPC(2)由题意知，AB(0，3，0)，DP(0，0，a)，PA(1，0，a)，PC(3，3，a)，PEPC，PE(3，3，a)，DEDPPE(0，0，a)(3，3，a)(3，3，aa)设 n(x，y，z)为平面 PAB 的法向量，则AB n0，PA n0，即3y0，xaz0.令 z1，得 xa，n(a，0，1)DE平面 PAB，DE n0，3aaa0，即 a(14)0，a0，14.