2022届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分-开卷速查12-函数模型及其应用.docx

开卷速查(十二)　函数模型及其应用
A级　基础巩固练
1．往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．假如某人所寄一封信的质量为72.5 g，那么他应付邮费(　　)
A．3.20元　　　　　　　 B．2.90元
C．2.80元　　　　　　　　　 D.2.40元
解析：由题意得20×3＜72.5＜20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A.
答案：A
2．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x　　　　　　　　　 B.y＝x2－1
C．y＝2x－2　　　　　　　　　D.y＝log2x
解析：依据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排解A；依据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排解B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.
答案：D
3．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从动身到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为(　　)

解析：留意到y为“小王从动身到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案D.
答案：D
4．[2022·北京]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次试验的数据．依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)

A．3.50分钟　　　　　　　　　B.3.75分钟
C．4.00分钟　　　　　　　　　D.4.25分钟
解析：由试验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图像过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，所以当t＝3.75分钟时，可食用率p最大．故选B.
答案：B
5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为(　　)
A．8　　　　　　　　　 B.10
C．12　　　　　　　　　 D.15
解析：由已知条件可得ae5n＝，e5n＝.由aent＝，得ent＝，所以t＝15，m＝15－5＝10.
答案：B
6．国家规定个人稿费纳税方法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为(　　)
A．2 800元　　　　　　　　　B.3 000元
C．3 800元　　　　　　　　　D.3 818元
解析：设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y＝
假如稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，
∴(x－800)×14%＝420.∴x＝3 800(元).
答案：C
7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝__________，经过5小时，1个病毒能繁殖为__________个．
解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝ek，∴k＝2ln2.
∴y＝e2tln2，当t＝5时，∴y＝e10ln2＝210＝1 024.
答案：2ln2　1 024
8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了______km.
解析：设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.
答案：9

9．如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为__________．
解析：设长为a cm，宽为b cm，则ab＝600，则中间文字部分的面积S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2＝486，
当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，S最大＝486.
答案：30 cm、20 cm
10．有一种新型的洗衣液，去污速度特殊快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)个单位的洗衣液在确定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝k·f(x)，其中f(x)＝若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．依据阅历，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．
(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3(克/升)，求k的值；
(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
解析：(1)由题意知k＝3，得k＝1.
(2)由于k＝4，所以y＝
则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得8＞x≥－4，所以此时0≤x≤4.
当4＜x≤14时，由28－2x≥4，解得x≤12，所以此时4＜x≤12.
综上可知0≤x≤12，若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．
B级　力气提升练
11．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是100元．
(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a·元；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应当选取何种生产速度？并求此最大利润．
解析：(1)证明：生产a千克该产品所用的时间是小时，
∵每一小时可获得的利润是100元，
∴获得的利润为100×元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100a元．
(2)生产900千克该产品获得的利润为90 000·元，1≤x≤10.
设f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10.
则f(x)＝－32＋＋5，当且仅当x＝6取得最大值．
故获得最大利润为90 000×＝457 500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元．
12．某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S＝已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.
(1)求k的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
解析：(1)由题意可得：L＝
由于x＝2时，L＝3，所以3＝2×2＋＋2，
解得k＝18.
(2)当0＜x＜6时，L＝2x＋＋2，所以L＝2(x－8)＋＋18＝－[2(8－x)＋]＋18≤－2＋18＝6.
当且仅当2(8－x)＝，即x＝5时取得等号．
当x≥6时，L＝11－x≤5.
所以当x＝5时，L取得最大值6.
所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．