2022届高考数学理新课标A版一轮总复习练习-第2章-函数、导数及其应用-3.docx

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1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为(　　)
A．y＝cos2x，x∈R
B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0
C．y＝，x∈R
D．y＝x3＋1，x∈R
解析：选项A中函数y＝cos2x在区间上单调递减，不满足题意；
选项C中的函数为奇函数；
选项D中的函数为非奇非偶函数，故选B项．
答案：B
2．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)
A.　　 　B．－　 　　C.　 　　D．－
解析：依据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
答案：C
3．[2021·“江淮十校”联考]定义在R上的函数f(x)满足：对任意α、β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2 014，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＋1是奇函数
B．f(x)－1是奇函数
C．f(x)＋2 014是奇函数
D．f(x)－2 014是奇函数
解析：令α＝β＝0，
则f(0)－2f(0)＝2 014，f(0)＝－2 014.
令α＝x，β＝－x，则f(0)－[f(x)＋f(－x)]＝2 014.
所以－2 014－[f(x)＋f(－x)]＝2 014.
即－2 014－f(x)－f(－x)＝2 014，
－[f(－x)＋2 014]＝f(x)＋2 014.
所以，f(x)＋2 014是奇函数，故选C.
答案：C
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．无法计算
解析：由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)．
∴f(x－1)＝－f(x＋1)．
∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)．
∴f(x)的周期为4.
∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)．
又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，
∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.
答案：C
5．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)的图像关于点对称；
③函数f(x)为R上的偶函数；
④函数f(x)为R上的单调函数．
其中真命题的序号为__________．
解析：由f(x)＝f(x＋3)⇒f(x)为周期函数，且T＝3，①为真命题；又y＝f关于(0,0)对称，
y＝f向左平移个单位得y＝f(x)的图像，
则y＝f(x)的图像关于点对称，②为真命题；
又y＝f为奇函数，
∴f＝－f，
f＝－f＝－f(－x)．
∴f＝－f(－x)，f(x)＝f(x－3)＝－f＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，不行能为R上的单调函数．所以③为真命题，④为假命题．
答案：①②③