2022届数学一轮(人教A版--文科)-第四章-阶段回扣练4.docx

阶段回扣练4　三角函数、解三角形　
(建议用时：90分钟)
一、选择题
1．下列函数中周期为π且为偶函数的是 (　　)
A．y＝sin　 B．y＝cos
C．y＝sin　 D．y＝cos
解析　y＝sin＝－cos 2x为偶函数，且周期是π，故选A．
答案　A
2．(2022·包头市测试)已知sin 2α＝，则sin2＝ (　　)
A．　 B．　
C．　 D．
解析　依题意得sin2＝(sin α＋cos α)2＝(1＋sin 2α)＝，故选D．
答案　D
3．(2021·合肥检测)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x图象的一条对称轴方程是 (　　)
A．x＝－　 B．x＝　
C．x＝　 D．x＝
解析　依题意得f(x)＝2sin，且f＝2sin＝－2，因此其图象关于直线x＝对称，故选D．
答案　D
4．(2022·南昌模拟)已知函数f(x)＝cos ωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝sin的图象，只要将y＝f(x)的图象 (　　)
A．向左平移个单位长度　 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度　 D．向右平移个单位长度
解析　依题意得＝π，ω＝2，f(x)＝cos 2x，
g(x)＝sin＝cos＝cos＝
cos，因此只需将y＝f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．
答案　B
5．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进
1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为 (　　)
A．500(＋1)m　 B．500 m
C．500(＋1)m　 D．1 000 m

解析　过点D作DE∥AC交BC于E，由于∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，
故∠ABD＝15°，由正弦定理，得AB＝
＝＝500(＋)(m)，
所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m)．
答案　A
6．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间 上单调递减，则ω＝ (　　)
A．　 B．　
C．2　 D．3
解析　由于函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象经过坐标原点，由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.
答案　B
7．(2021·湖北七市(州)联考)将函数g(x)＝3sin图象上全部点向左平移个单位，再将各点横坐标缩短为原来的，得到函数f(x)，则 (　　)
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
解析　依题意，将函数g(x)的图象向左平移个单位长度得到的曲线方程是y＝3sin＝3cos 2x，再将各点横坐标缩短为原来的，得到的曲线方程是y＝3cos 4x，即f(x)＝3cos 4x，易知函数f(x)＝3cos 4x在上单调递减，故选A．
答案　A
8．(2022·乌鲁木齐诊断)在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝，则A＝ (　　)
A．30°　 B．45°　
C．60°　 D．120°
解析　由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B，
∴tan B＝3tan A，∴0＜A，B＜，又cos C＝，故sin C＝，∴tan C＝2，而A＋B＋C＝180°，
∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即＝－2，将tan B＝3tan A代入，得＝－2，∴tan A＝1或tan A＝－，而0°＜A＜90°，则A＝45°，故选B．
答案　B
9．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个零点，则m的取值范围是 (　　)
A．(1,2)　 B．[1,2)　
C．(1,2]　 D．[1,2]
解析　利用三角函数公式转化一下，得f(x)＝2sin－m，它的零点是函数y1＝2sin和y2＝m的交点所对应的x的值，
∴要在上有两个零点，y1和y2就要有两个交点，
结合函数y1＝2sin在上的图象，
知当y2＝m在[1,2)上移动时，两个函数有两个交点．
答案　B
10．(2022·天津卷)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为 (　　)
A．　 B．　
C．π　 D．2π
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，由2sin＝1，得sin＝，设x1，x2分别为距离最小的相邻交点的横坐标，则ωx1＋＝2kπ＋，ωx2＋＝2kπ＋(k∈Z)，两式相减，得x2－x1＝＝，所以ω＝2，故f(x)＝2sin的最小正周期为π，故选C．
答案　C
二、填空题
11．(2022·南昌模拟)已知角α(－π＜α＜0)的终边与单位圆交点的横坐标是，则cos的值是________.
解析　依题意得，角α的终边与单位圆的交点坐标是，cos＝－sin α＝.
答案　
12．已知sin＝，α∈，则cos α＝________.
解析　∵α∈，∴α＋∈，
∴cos＝－＝－
＝－，
∴cos α＝cos＝coscos ＋
sinsin ＝×＋×＝.
答案　
13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝，C＝π，则S△ABC＝________.
解析　由于c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得＝，即＝＝2，即sin B＝，所以B＝，所以A＝π－－＝.所以S△ABC＝bc sin A＝××＝.
答案　
14．如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的一部分，则其函数解析式是________.

解析　由图象知A＝1，＝－＝，得T＝2π，则ω＝1，所以y＝sin(x＋φ)．由图象过点，可得φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又|φ|＜，所以φ＝，所以所求函数解析式是
y＝sin.
答案　y＝sin
15．(2022·江苏卷)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________.
解析　由已知sin A＋sin B＝2sin C及正弦定理可得a＋b＝2c.又由余弦定理得cos C＝＝
＝≥
＝，当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立，
所以cos C的最小值为.
答案　
三、解答题
16．函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
解　(1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2，
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，
∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.
(2)f＝2sin＋1＝2，
即sin＝，
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，故α＝.
17．(2022·东北三省四市联考)已知函数f(x)＝4cos x·sin－1.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值及取得最大值时自变量x的集合；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解　f(x)＝4cos xsin－1
＝4cos x－1
＝2sin xcos x＋2cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
(1)函数的最小正周期为＝π，令2x＋＝2kπ＋，k∈Z，
y取得最大值为2.
此时自变量x的取值集合为.
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴递增区间是(k∈Z)．
18．(2022·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为，求cos A与a的值．
解　由三角形面积公式，得×3×1×sin A＝，故sin A＝.
由于sin2A＋cos2A＝1，
所以cos A＝±＝±＝±.
①当cos A＝时，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝8，
所以a＝2.
②当cos A＝－时，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝12，
所以a＝2.
19．已知函数f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx的图象关于直线x＝对称，其中ω∈.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，锐角B满足f＝，b＝，求△ABC面积的最大值．
解　(1)由于f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin的图象关于直线x＝对称，
所以2ω×－＝kπ＋(k∈Z)，所以ω＝＋1.
由于ω∈，所以－＜＋1＜，
所以－1＜k＜1(k∈Z)，所以k＝0，ω＝1，
所以f(x)＝2sin.
(2)f＝2sin B＝，所以sin B＝，由于B为锐角，所以0＜B＜，所以cos B＝，由于cos B＝，所以＝，所以ac＝a2＋c2－2≥2ac－2，所以ac≤3，当且仅当a＝c＝时，ac取到最大值3，
所以△ABC面积的最大值为acsin B＝×3×＝.