2020年三月高三-第一次在线大联考理科数学及解析知识讲解.docx

2020年三月高三-第一次在线大联考理科数学及解析

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2020届高三第一次在线大联考数学 （新课标Ⅱ卷）
理科 2020年3月
 （满分：150分   考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．若，则的虚部是
A．3 B． C． D．
2．已知集合,，则
A． B．
C． D．
3．已知等差数列的前n项和为，，则
A．3　　 B．4　　 C．5　　 D．6
4．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为

A． B． C． D．

5．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论错误的是

A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住
B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重为2.5%
D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%
6．函数在的图象大致为

A B

C D
7．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为
A．96 B．84 C．120 D．360
8．已知直线过双曲线C：的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为
A． B． C． D．
9．如图，已知正方体的棱长为2，点P在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为

A． B． C．5 D．
10．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．

11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.

对于下列说法：
①越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.
其中正确的是：
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④　　
12．定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知单位向量的夹角为,则=_________.
14．若，则_________.
15．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.
16．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知的内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长的最小值.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.
（1）若，求证：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．

19．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，直线交于两点（异于坐标原点O）.
（1）若直线过点,，求的方程；
（2）当时，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

20．（本小题满分12分）
手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.
（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；
②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若在上是减函数，求实数的最大值；
（2）若，求证：.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.
（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值与最小值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求的最小值；
（2）求不等式的解集.

全解全析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
C
D
A
B
B
B
D
A
D
1．B【解析】因为，所以的虚部是.故选B．
2．D 【解析】因为,,所以,,故选D．
3．C 【解析】方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C．
方法二：因为，所以，则.故选C．
4．C 【解析】由题图得，，根据题意得.五边形的面积为，正方形的面积为9，因此，所求概率为.故选C．
5．D 【解析】CPI一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项A正确；吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项B正确；猪肉在CPI一篮子商品中所占权重为2.5%，选项C正确；猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重为4.6%，选项D错误.故选D．
6．A 【解析】因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A．
7．B 【解析】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共个，其中含有2个10的排列数共个，所以产生的不同的6位数的个数为.故选B．
8．B 【解析】直线的倾斜角为，易得．设双曲线C的右焦点为E，可得中，，则，所以双曲线C的离心率为.故选B．
9．B 【解析】延长与BC交于点E，则点E为BC中点，连接AE，取中点F，连接AF，，则四边形就是正方体被平面截得的截面,四边形是边长为的菱形，连接，所以，且，所以四边形的面积为,故选B．

10．D 【解析】如图所示，设依次构成等差数列，其公差为.

根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，，，.
在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D．
11．A 【解析】对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A．
12．D 【解析】由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.
当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6.

当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.

当时，作出函数和的图象，如图所示.

若，即的整数解只有1，2，3.
只需满足，即，解得，所以.
综上，当时，实数的取值范围是.故选D.
13． 【解析】因为单位向量的夹角为，所以，所以==.
14． 【解析】因为，所以.因为，所以，又，所以，所以..
15．8，（写为也得分） 【解析】由，得，.当时，，所以，所以的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则，.
16． 【解析】一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为,所以容器体积的最小值为.
17．（本小题满分12分）
【解析】（1）因为，所以，（1分）
由余弦定理得，化简得，
可得，解得，（4分）
又因为，所以.（6分）
（2）因为，所以，（8分）
则（当且仅当时，取等号）.（9分）
由（1）得（当且仅当时，取等号），解得.（11分）
所以（当且仅当时，取等号），
所以的周长的最小值为.（12分）
18．（本小题满分12分）
【解析】（1）如图，作，交于，连接.
因为，所以是的三等分点，可得.
因为，，，所以，
因为，所以，（1分）
因为，所以，所以，（2分）
因为，所以，所以，（3分）
因为平面，平面，所以平面.（4分）
又，平面，平面，所以平面.（5分）
因为，、平面，所以平面平面，所以平面.（6分）

（2）因为是等边三角形，，所以.
又因为，，所以，所以.
又，平面，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.在平面内作平面.（7分）
以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，.（8分）
设为平面的法向量，则，即，
令，可得.（9分）
设为平面的法向量，则，即，
令，可得.（10分）
所以，则，
所以二面角的正弦值为.（12分）
19．（本小题满分12分）
【解析】设.
（1）由题意知，.设直线的方程为，（1分）
由得，则，
由根与系数的关系可得，（3分）
所以.（4分）
由，得，解得.（5分）
所以抛物线的方程为.（6分）
（2）设直线的方程为，（7分）
由得，由根与系数的关系可得，（9分）
所以，解得.（11分）
所以直线的方程为，
所以时，直线过定点.（12分）
20．（本小题满分12分）
【解析】（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.（3分）
（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为，
设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则， （5分）
则,.
由得，所以当时，，即，
由得，所以当时，，
所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.（8分）
②由上可得一件手工艺品质量为A 级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，
一件手工艺品质量为C 级的概率为，
一件手工艺品质量为D 级的概率为，
所以X的分布列为
X
900
600
300
100
P

则期望为.（12分）
21．（本小题满分12分）
【解析】（1），（1分）
在上，因为是减函数，所以恒成立，
即恒成立，只需.（3分）
令，，则，因为，所以.
所以在上是增函数，所以，
所以，解得.（4分）
所以实数的最大值为.（5分）
（2），.
令，则，
根据题意知，所以在上是增函数.（7分）
又因为，
当从正方向趋近于0时，趋近于，趋近于1，所以，
所以存在，使，
即，，（9分）
所以对任意，，即，所以在上是减函数；
对任意，，即，所以在上是增函数，
所以当时，取得最小值，最小值为.（10分）
由于，，
则
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，．（12分）
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
【解析】（1）曲线C的参数方程为，
消去参数得曲线C的普通方程为，（2分）
直线l的极坐标方程为，即，
由,得直线l的直角坐标方程为.（5分）
（2）曲线C是以为圆心，以1为半径的上半圆，（6分）
圆心到直线l的距离减去半径为最小值，所以最小值为，
点到直线l的距离最大，所以最大值为，（9分）
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为4，最小值为.（10分）
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
【解析】（1）因为，
当时取等号，所以的最小值为2.（5分）
（2）当时，等价于，该不等式恒成立；
当时，等价于，该不等式不成立；
当时，等价于，解得，（8分）
所以不等式的解集为.（10分）

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