北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)(解析版)培训讲学.doc

2017年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

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2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
1．若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（　　）
A．{﹣2} B．{1} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0，1}
2．二项式的展开式的第二项是（　　）
A．6x4 B．﹣6x4 C．12x4 D．﹣12x4
3．已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（　　）
A．11 B．3 C．4 D．2
4．圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．已知{an}为无穷等比数列，且公比q＞1，记Sn为{an}的前n项和，则下面结论正确的是（　　）
A．a3＞a2 B．a1+a2＞0
C．是递增数列 D．Sn存在最小值
6．已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（　　）

A．① B．①② C．②③ D．①②③
8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记Ti（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（　　）

A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数
B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数
C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数
D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为　　．
10．已知复数，则|z|=　　．
11．在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=　　．
12．已知函数f（x）=，则　　f（1）（填“＞”或“＜”）；f（x）在区间上存在零点，则正整数n=　　．
13．在四边形ABCD中，AB=2．若，则=　　．
14．已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是　　．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．已知函数f（x）=sin2xcos．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值．
16．为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．

（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？
（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．
（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；
（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．
17．如图，三棱锥P﹣ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．
（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；
（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．

18．已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．
19．已知函数f（x）=eax﹣x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．
20．对于无穷数列{an}，记T={x|x=aj﹣ai，i＜j}，若数列{an}满足：“存在t∈T，使得只要am﹣ak=t（m，k∈N*且m＞k），必有am+1﹣ak+1=t”，则称数列{an}具有性质P（t）．
（Ⅰ）若数列{an}满足判断数列{an}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？
（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{an}具有性质P（0）”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知{an}是各项为正整数的数列，且{an}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是等差数列．

2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（　　）
A．{﹣2} B．{1} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0，1}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，
∴A∩B={﹣2，1}．
故选：C．

2．二项式的展开式的第二项是（　　）
A．6x4 B．﹣6x4 C．12x4 D．﹣12x4
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：二项式的展开式的第二项==﹣12x4．
故选：D．

3．已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（　　）
A．11 B．3 C．4 D．2
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】画出可行域，设z=2x+y，利用目标函数的几何意义其最小值．
【解答】解：由已知得到平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，
由它在y轴的截距最小，得到z最小，
由图可知当直线过A（0，3）时，z 最小，所以最小值为3；
故选：B．

4．圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．0
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】求出圆心到直线的距离，即可得出结论．
【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0，可得x2+（y﹣1）2=1，圆心为（0，1），半径为1，
圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d==＞1，
圆心（0，1）到直线y=﹣x﹣1的距离d==＞1，
∴圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为0，
故选D．

5．已知{an}为无穷等比数列，且公比q＞1，记Sn为{an}的前n项和，则下面结论正确的是（　　）
A．a3＞a2 B．a1+a2＞0
C．是递增数列 D．Sn存在最小值
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】在A中，当a1＜0时，a3＜a2；在B中，当a1＜0时，a1+a2＜0；在C中，是递增数列；在D中，当a1＜0时，Sn不存在最小值．
【解答】解：由{an}为无穷等比数列，且公比q＞1，记Sn为{an}的前n项和，知：
在A中，当a1＜0时，a3＜a2，故A错误；
在B中，当a1＜0时，a1+a2＜0，故B错误；
在C中， =，∴是递增数列，故C正确；
在D中，当a1＜0时，Sn不存在最小值，故D错误．
故选：C．

6．已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，
∴若x1+x2=0，
则x1=﹣x2，
则f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），
即f（x1）+f（x2）=0成立，即充分性成立，
若f（x）=0，满足f（x）是奇函数，当x1=x2=2时，
满足f（x1）=f（x2）=0，此时满足f（x1）+f（x2）=0，
但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，
故“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的充分不必要条件，
故选：A．

7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（　　）

A．① B．①② C．②③ D．①②③
【考点】L7：简单空间图形的三视图．
【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．
【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，

其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；
编号为②的三棱锥，其直观图可能是②
，
其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；
编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，

其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．
综上，满足题意的序号是①②．
故选：B．

8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记Ti（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（　　）

A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数
B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数
C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数
D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】由（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）═T1+T2+T3+T4＞0即可得到T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数．
【解答】解：由题意可知：（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）＞0，
则（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）=x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+x2y2+x2y3+x2y4+x3y1+x3y2+x3y3+x4y4+x4y1+x4y2+x4y3+x4y4，
=T1+T2+T3+T4＞0
∴T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，
故选A．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为　1　．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线ρcosθ=1的距离．
【解答】解：直线ρcosθ=1，即x=1，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=1的距离为1，
故答案为1．

10．已知复数，则|z|=　　．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数==﹣i﹣1，
则|z|==．
故答案为：．

11．在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=　　．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】利用正弦定理化简2a=3b，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinB不为0，确定出cosB的值即可．
【解答】解：由正弦定理化简2a=3b得：2sinA=3sinB，
把A=2B代入得：2sin2B=3sinB，即4sinBcosB=3sinB，
∵sinB≠0，
∴4cosB=3，即cosB=，
故答案为：

12．已知函数f（x）=，则　＞　f（1）（填“＞”或“＜”）；f（x）在区间上存在零点，则正整数n=　2　．
【考点】55：二分法的定义．
【分析】根据函数的单调性即可判断，再根据函数的零点存在定理即可求出
【解答】解：易知函数f（x）=为减函数，
则f（）＞f（1），
∵f（1）=1﹣2=﹣1，f（）=2﹣＞0，
∴f（1）f（）＜0，
∴函数f（x）的零点所在的区间为（，1），
∵f（x）在区间上存在零点，
∴=，
解得n=2，
故答案为：＞，2

13．在四边形ABCD中，AB=2．若，则=　2　．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据条件画出图形，并取AB中点E，连接CE，从而得出四边形ADCE为平行四边形，进而得出，进行数量积的运算即可求出的值．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，则：
；
∴；
∴四边形ADCE是平行四边形；
∴，且AB=2；
∴．
故答案为：2．

14．已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是　①③　．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】运用椭圆的定义可得P也在椭圆+=1上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；
通过b的变化，可得②不正确；由图象可得当P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断③．
【解答】解：椭圆G：的两个焦点分别为
F1（，0）和F2（﹣，0），
短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），
设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，
由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=2a=2＞2b，
即有P在椭圆+=1上．
对于①，将x换为﹣x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，
则椭圆G上满足条件的点P有4个，
不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；
对于③，由图象可得，当P满足x2=y2，即有6﹣b2=b2，即b=时，
|OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．
故答案为：①③．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．已知函数f（x）=sin2xcos．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．
【分析】（I）根据差角公式化简f（x），利用正弦函数的性质求出对称轴和周期；
（II）根据x的范围得出2x﹣的范围，再利用正弦函数的性质得出f（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）．
所以f（x）的最小正周期，
令2x﹣=+kπ，解得x=+kπ．
所以f（x）的对称轴方程为x=+kπ，k∈Z．
（Ⅱ）因为，
所以2x∈[0，π]，
所以
所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为﹣1．

16．为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．

（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？
（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．
（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；
（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质即可得出．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，随机变量X可取0，1，2．利用“超几何分布列的计算公式与性质”即可得出．
（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4﹣X），可得随机变量Y的数学期望为E（Y）
=6000+500E（X）．
（ⅱ）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．求出随机变量Y的分布列，进而得出数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）选择人文类课程的人数为×1%=12（人）；
选择自然科学类课程的人数为×1%=8（人）．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，随机变量X可取0，1，2.；；．
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
p

（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4﹣X）=6000+500X，
所以随机变量Y的数学期望为
E（Y）=6000+500E（X）
=6000+500（）
=6500．
（ⅱ）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．
所以随机变量Y的分布列为
Y
6000
6500
7000
p

所以随机变量Y的数学期望为
E（Y）==6500．

17．如图，三棱锥P﹣ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．
（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；
（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出∠DBA=∠CAB=60°，ACBD为平面四边形，从而DB∥AC．由此能证明AC∥平面PDB．
（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣AB﹣C的余弦值．
（Ⅲ）求出，，由≠0，求出在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE．
【解答】（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为AD⊥DB，且DB=1，
AB=2，所以，
所以∠DBA=60°．
因为△ABC为正三角形，所以∠CAB=60°，
又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB∥AC．
因为AC⊄平面PDB，DB⊂平面PDB，
所以AC∥平面PDB．
解：（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，
所以PD⊥DA，PD⊥DB．
如图，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则由已知可知B（1，0，0），，P（0，0，1），．
平面ABC的法向量=（0，0，1），
设=（x，y，z）为平面PAB的一个法向量，则
由，得，令y=1，则，所以平面PAB的一个法向量=（），
所以cos＜＞==，
由图象知二面角P﹣AB﹣C是钝二面角，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，
因为，
所以PC与AB不垂直，
所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE．

18．已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义，即可求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）由题意可设直线l'：x=my+n，由可得y2﹣4my﹣4n=0，求出A，P的坐标，利用向量的数量积，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），
由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N（1，0）为焦点，直线l：x=﹣1为准线的抛物线，
所以轨迹E的方程为y2=4x．
（Ⅱ）点N在以PA为直径的圆C上．
理由：由题意可设直线l'：x=my+n，
由可得y2﹣4my﹣4n=0（*），
因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，
所以△=16m2+16n=0，即n=﹣m2．
所以（*）可化简为y2﹣4my+4m2=0，
所以A（m2，2m），
令x=﹣1得，
因为n=﹣m2，
所以
所以NA⊥NP，
所以点N在以PA为直径的圆C上．

19．已知函数f（x）=eax﹣x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，结合曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a≤0时，有f（1）＜ea﹣1≤0＜1，即存在实数x0使f（x0）＜1；当a＞0，a≠1时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由单调性求出函数的极小值，再由导数求出极小值的最大值得答案．
【解答】（Ⅰ）解：f'（x）=aeax﹣1，
∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，
∴切线l的斜率为2，
∴f'（0）=a﹣1=2，
∴a=3；
（Ⅱ）证明：当a≤0时，显然有f（1）＜ea﹣1≤0＜1，即存在实数x0使f（x0）＜1；
当a＞0，a≠1时，由f'（x）=0可得，
∴在时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在上递减；
时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在上递增．
∴=是f（x）的极小值．
设，则，令g'（x）=0，得x=1．
x
（0，1）
1
（1，+∞）
g'（x）
+
0
﹣
g（x）
↗
极大值
↘
∴当x≠1时g（x）＜g（1）=1，
∴，
综上，若a≠1，存在实数x0使f（x0）＜1．

20．对于无穷数列{an}，记T={x|x=aj﹣ai，i＜j}，若数列{an}满足：“存在t∈T，使得只要am﹣ak=t（m，k∈N*且m＞k），必有am+1﹣ak+1=t”，则称数列{an}具有性质P（t）．
（Ⅰ）若数列{an}满足判断数列{an}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？
（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{an}具有性质P（0）”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知{an}是各项为正整数的数列，且{an}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是等差数列．
【考点】8H：数列递推式；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（Ⅰ）由可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{an}不具有性质P（2）；同理可判断数列{an}具有性质P（4）．
（Ⅱ）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定义可证数列{an}不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可．
（Ⅲ）依题意，数列{an}是各项为正整数的数列，且{an}既具有性质P（2），又具有性质P（5），可证得存在整数N，使得aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是等差数列．
【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{an}不具有性质P（2）；
同理可得，数列{an}具有性质P（4）．
（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，
所以不具有性质P（0）；
（必要性）因为数列{an}具有性质P（0），
所以一定存在一组最小的且m＞k，满足am﹣ak=0，即am=ak
由性质P（0）的含义可得am+1=ak+1，am+2=ak+2，…，a2m﹣k﹣1=am﹣1，a2m﹣k=am，…
所以数列{an}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：ak，ak+1，…，am﹣1为一个周期中的各项，
所以数列{an}中最多有m﹣1个不同的项，
所以T最多有个元素，即T是有限集．
（Ⅲ）因为数列{an}具有性质P（2），数列{an}具有性质P（5），
所以存在M′、N′，使得aM'+p﹣aM'=2，aN'+q﹣aN'=5，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，
由性质P（2），P（5）的含义可得，aM'+p+k﹣aM'+k=2，aN'+q+k﹣aN'+k=5，
若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得aN'+p﹣aN'=2；
若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得aM'+q﹣aM'=5．
记M=max{M'，N'}，则对于aM，有aM+p﹣aM=2，aM+q﹣aM=5，显然p≠q，
由性质P（2），P（5）的含义可得，aM+p+k﹣aM+k=2，aN+q+k﹣aN+k=5，
所以aM+qp﹣aM=（aM+qp﹣aM+（q﹣1）p）+（aM+（q﹣1）p﹣aM+（q﹣2）p）+…+（aM+p﹣aM）=2qaM+qp﹣aM=（aM+pq﹣aM+（p﹣1）q）+（aM+（p﹣1）q﹣aM+（p﹣2）q）+…+（aM+q﹣aM）=5p
所以aM+qp=aM+2q=aM+5p．
所以2q=5p，
又p，q是满足aM+p﹣aM=2，aM+q﹣aM=5的最小的正整数，
所以q=5，p=2，aM+2﹣aM=2，aM+5﹣aM=5，
所以，aM+2+k﹣aM+k=2，aM+5+k﹣aM+k=5，
所以，aM+2k=aM+2（k﹣1）+2=…=aM+2k，aM+5k=aM+5（k﹣1）+5=…=aM+5k，
取N=M+5，则，
所以，若k是偶数，则aN+k=aN+k；
若k是奇数，则aN+k=aN+5+（k﹣5）=aN+5+（k﹣5）=aN+5+（k﹣5）=aN+k，
所以，aN+k=aN+k
所以aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是公差为1的等差数列．

2017年6月4日
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