四年级加乘原理进阶主要内容及解题思路.docx

四年级加乘原理进阶主要内容及解题思路
一、基本知识
n 加法原理 任取其一，造句：要么...，要么...
n 乘法原理 缺一不可，造句：既要...，又要...
二、 题型
n 搭配问题
n 路线问题
n 排队问题
n 组数问题
n 填数问题
n 染色问题--重要
n 旗帜问题--重要
三、 基本知识点
①加法原理
    做一件事有几类方法，每一类中任何一种方法都可以独立完成任务，只要将每一类的选择数依次相加，即可得到总的选择数。
例  超市的泡面按品牌分为三类：康师傅、今麦郎和统一；而康师傅的有4种口味，今麦郎有2种，统一有3种，则买一包泡面不同的选择方式有：4+2+3=9（种）
总结：加法分类，类类独立。
②乘法原理
    做一件事需要分成几步，每一步不能独立完成任务，但互相关联，缺一不可，只要将每一步的选择数依次相乘，即可得到总的选择数。
例   肯德基买一份套餐可以享受优惠，套餐包含一个汉堡，一份小吃，一份饮料；共有3种汉堡，5种小吃，4种饮料，则共有不同的套餐选择数：3×5×4=60（种）
总结：乘法分步，步步相关。

四、 典型问题解决----先分类，后分步
例 （路线问题）小明要从A地去C地，从A直接到C有3条不同的线路；也可以从A地先到B地，再由B地到C地，从A到B有4条不同的线路，从B到C有2条不同的线路。则从A地到C地不同的选择数共有：3+2×4=11（种）  

加乘原理类问题，可按四个步骤进行思考：
1) 需要做什么事情
2) 怎样才算完成任务
3) 需要分类还是分步
4) 用加法还是用乘法
1、组数问题
需考虑如下几个方面：
（1）要组一个几位数（几位就是几步）
（2）组数时是否要求数字不重复（要求不重复时后面的选择数变少）
（3）组数时有无特殊位置，如首位不为零或要求组奇数、偶数（优先考虑特殊位置）
（4）当既要求组奇数，又要考虑首位不为零时，先考虑个位，再考虑首位。特别地，当要组偶数，又要考虑首位不为零时，要进行分类，分为个位是零和个位不是零两种情况去考虑。
例 用0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
首先进行分类:
n 个位为零时
个位只有1种选择，首位有4种选择，十位剩3种选择，则有1×4×3=12（个）；
n 个位不为零时
个位有2种选择，首位有3种选择，十位剩3种选择，则有2×3×3=18（个）；
   总共有12+18=30（个）

2、染色问题（要求相邻两块不能染成同色）
n 对于直线型如下图所示，我们按从一端染色到另一端即可。
 例：共四种不同颜色的染料

n 对于复杂型如下图，要先染相邻最多的那一块，然后按顺时针或逆时针的次序染色。
 例： 共四种不同颜色染料

3、填数问题
    先分析特殊位置上的数该填多少,有多种填法可分成几类；每一类中剩下的数填时可应用乘法原理分步相乘得出。
从1，2，3，4，5中选出4个填入下面四个格中，要求左比右小，上比下小。              

  先填左上和右下两格，可以有三种填法：
（1）左上1，右下4，则剩下两格有2×1=2（种）填法
（2）左上2，右下5，则剩下两格有2×1=2（种）填法
（3）左上1，右下5，则剩下两格有3×2=6（种）填法
     总共2+2+6=10（种）

4.旗帜问题
（1）如果红、黄两种颜色的旗子各2面，用任意两面旗子来表示一种信号。
若采用分类的方法进行统计可以有的信号数，则可分两类：
一种颜色：红红、黄黄共2种；

两种颜色：红黄、黄红共2种；

总共2+2=4（种）
若采用分步的方法进行统计，则每面旗都有2种颜色可选：
2×2=4（种）也可以得到结果。

►【拓】若只有1面红旗，2面黄旗，则只有一种颜色的“红红”是无法摆出的信号，故这时可以有的信号种数为  4-1=3(种)

(2)如果有3面红旗，3面黄旗，3面蓝旗，用任意三面旗子来表示一种信号。
若采用分类的方法进行统计可以有的信号数，可分为三类：
一种颜色：红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝共3种；

两种颜色：红红黄、红红蓝、黄黄红、黄黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、红黄黄、红蓝蓝、黄红红、黄蓝蓝、蓝红红、蓝黄黄、红黄红、红蓝红、黄红黄、黄蓝黄、蓝红蓝、蓝黄蓝共18种；
(太多了！最好用分步的方法去算出来。可以看成先选一种主色（就是有两面旗的）有3种选法，再选一种辅色(就是一面旗的啦！)有2种选法，而主辅两色可以有3种不同顺序（我只画红为主色黄为辅色的见下图），则共有3×2×3=18（种））

三种颜色：红蓝黄、红黄蓝、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红共6种；

总计：3+18+6=27（种）

若采用分步的方法进行统计，则每一面旗子都有3种颜色可选：
3×3×3=27（种）也可以得到结果。

►【拓】若只有2面红旗，2面黄旗，3面蓝旗则只有一种颜色的“红红红”和“黄黄黄”是无法摆出的信号，故这时可以有的信号种数为    27-2=25(种)