2020年中考数学三轮易错复习：专题12-类比、探究类综合题之全等知识说课材料.docx

2020年中考数学三轮易错复习：专题12-类比、探究类综合题之全等知识

精品文档
2020年中考数学三轮易错复习：专题12 类比、探究类综合题之全等知识
【例1】（2019·济源一模）在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化．
（1）探索发现
如图1，当点E在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE．填空：BP与CE的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是 ．
（2）归纳证明
当点E在菱形 ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）拓展应用
如图4，当点P在线段 BD 的延长线上时，连接BE，若AB=，BE=，请直接写出四边形 ADPE 的面积．

图1 图2

图3 图4
【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．
（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，
问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；
深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
类比拓展:（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=，当BM=_________时，BP的最大值为__________．

图1 图2 图3
【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.
（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．

【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

图1 图2 图3
强化精炼：
1.（2019·河南南阳一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，
①如图2，当△ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为
猜想论证：
（2）如图1，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.

2.（2019·郑州外国语测试）已知如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点，
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2所示，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α<90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE=2，直接写出线段BF的范围.

3.（2019·偃师一模）特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°．作 CM平分∠ACB 交 AB 于点 M，点 D 为射线 CM 上一点，以点 C 为旋转中心将线段 CD 逆时针旋转 90°得到线段 CE，连接 DE 交射线 CB 于点 F，连接 BD， BE．
填空：
①线段 BD，BE 的数量关系为 ；②线段 BC，DE 的位置关系为 ．
一般：（2）如图 2，在等腰三角形 ABC 中，∠ACB=α，作 CM 平分∠ACB 交AB 于点 M，点 D 为△ABC 外部射线 CM 上一点，以点 C 为旋转中心将线段CD 逆时针旋转 α 度得到线段 CE，连接 DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．
特殊：（3）如图 3，在等边三角形 ABC 中，作 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M，点 D 为射线 BM 上一点，以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60°得到线段 BE，连接 DE 交射线 BA 于点 F，连接 AD，AE．若 AB=4，当△ADM 与△AFD 全等时，请直接写出 DE 的值．

图1 图2 图3
4.（2019·省实验一模）观察猜想
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是 ，BE+BF＝ ；
探究证明
（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；
拓展延伸
（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．

图1 图2 图3
5.（2019·濮阳二模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE．
（1）特例猜想
如图1，当α＝90°时，试猜想：
①AF与BE的数量关系是 ；②∠ABE＝ ；
（2）拓展探究
如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．

图1 图2 图3
6.（2019·开封二模）问题发现
如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？
拓展探究
如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．
问题解决
如果△ABC的边长等于2，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．

图1 图2 备用图
7.（2019·安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为　 　．
（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论
（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE：EC＝3：4．点F在线段AE上，且∠EFD＝∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．

图1 图2 图3
8.（2019·中原名校大联考）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，
（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；
（3）【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．

图1 图2
9.（2018·新乡一模）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A是公共角.
（1）BD与CE的数量关系是： ；
（2）把图1的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.
①求证：BD＝CE；
②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么？说明理由.
（3）若AD=10，AB=6，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD长度的取值范围.

图1 图2
10.（2019·河南模拟）【问题探索】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AC、BC边上，DC=CE，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为 ，最后推理得到BE与MN的数量关系为 .
【深入探究】（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

2020年中考数学三轮易错复习：专题12 类比、探究类综合题之全等知识
【例1】（2019·济源一模）在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化．
（1）探索发现
如图1，当点E在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE．填空：BP与CE的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是 ．
（2）归纳证明
当点E在菱形 ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）拓展应用
如图4，当点P在线段 BD 的延长线上时，连接BE，若AB=，BE=，请直接写出四边形 ADPE 的面积．

图1 图2

图3 图4
【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）连接AC，延长CE至AD，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABP=30°，
∵△BAP≌△CAE，
∴∠ABP=∠ACE=30°，
∵∠CAD=60°，
∴∠ACE+∠CAD=90°，
即CD⊥AD.
（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）
连接AC，设CE与AD交于点H，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，
∵∠CAH=60°，
∴∠AHC=90°，即CE⊥AD；
（3）连接AC交BD于O，连接CE，

由（2）知，CE⊥BC，
∵AB=，BE=，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：CE=8，
由△BAP≌△CAE，
得：BP=CE，BD=6，
∴DP=BP－BD=2，
AO=，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP=，
∴S=S△ADP+S△APE
=
=8.
【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．
（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，
问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；
深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
类比拓展:（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=，当BM=_________时，BP的最大值为__________．

图1 图2 图3
【答案】（1）BN⊥AM，BN=AM；（2）见解析，（3）2， 1.
【解析】解：（1）由AC=BC，∠ACM=∠BCN，CM=CN，可证△ACM≌△BCN，
∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，
∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.
（2）BN⊥AM，BN=AM；理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°，
同理，∠NCM=90°，NC=MC,
∴∠ACM=∠BCN，
∴△ACM≌△BCN，
∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，
∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.
(3)过C作CG⊥BC交BA的延长线于G，过C作CH⊥AB于H，如图所示，

易证△GCM≌△BCN，
由（2）知，BN⊥AB，
∴△CHM∽△MBP，
∴,
即,
设BM=x，
则BP=，
∴当BM=2时，BP取最小值，最小值为1.
【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.
（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．

【答案】见解析.
【解析】解：
（1）AE=DF，AE⊥DF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
由题意知：DE=CF，
∴△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADP+∠CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°﹣90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，CE：CD=或2，理由如下：
①如图，当AC=CE时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE=a，
则CE：CD=a：a=；
②如图，当AE=AC时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE=a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE：CD=2a：a=2；
故，CE：CD=或2；
（3）∵点P在运动中∠APD=90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆，
如图，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆Q于点P，此时CP的长度最大，

在Rt△QDC中，由勾股定理得：QC=，
∴CP=QC+QP=+1，
即线段CP的最大值是+1．
【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

图1 图2 图3
【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE；
∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，
∴△BCF≌△CDE，
∴∠DEC=∠CFB，
∵∠CFB+∠FCB=90°，
∴∠DEC +∠FCB=90°，
即CF⊥DE，
∵DE⊥EG，
∴EG∥CF，
∴EG=DE=CF，
∴四边形FCEG是平行四边形，
∴FG=CE，FG∥CE；
（2）∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，
∴△BCF≌△CDE，
∴∠DEC=∠CFB，CF=DE，
∵∠CFB+∠FCB=90°，
∴∠DEC +∠FCB=90°，
即CF⊥DE，
∵DE⊥EG，
∴EG∥CF，
∴EG=DE=CF，
∴四边形FCEG是平行四边形，
∴FG=CE，FG∥CE；
（3）成立．
由上可证：△CBF≌△DCE，
得：∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵EG=DE，
∴CF=EG，
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF∥EG，
∴四边形CEGF平行四边形，
∴FG∥CE，FG=CE．
强化精炼：
1.（2019·河南南阳一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，
①如图2，当△ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为
猜想论证：
（2）如图1，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.

【分析】（1）①由△ABC是等边三角形，得AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∠BAC+∠B’AC’=180°，得∠B’=∠C’=30°，即BC=2AD；②可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证得：BC=2AD，AD=4；（2）BC=2AD，利用倍长中线构造全等三角形，延长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，证得△ABC≌△B’AM，得BC=AM，BC=2AD.
【解析】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，
∵DB’=DC’，
∴AD⊥B’C’，
∵BAC+∠B’AC’=180°，
∴∠B’AC’=120°，
∴∠B’=∠C’=30°，
∴BC=2AD，
即：答案为BC=2AD.
②∵∠BAC=90°，BAC+∠B’AC’=180°，
∴∠B’AC’=∠BAC=90°
∵AB=AB’，AC=AC’，
∴△BAC≌△B’AC’，
∴BC=B’C’，
∵B’D=DC’，
∴BC=2AD，
∵BC=8，
∴AD=4；
（2）结论：BC=2AD，理由如下：
如图，延长长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，
∵AD=DM，B’D=DC’，
∴四边形AC’MB’是平行四边形，
∴AC’=B’M=AC，
∵∠BAC+∠B’AC’=180°，∠AB’M+∠B’AC’=180°，
∴∠BAC=∠AB’M，
∵AB=AB’，
∴△BAC≌△AB’M，
∴BC=AM，
即BC=2AD.
2.（2019·郑州外国语测试）已知如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点，
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2所示，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α<90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE=2，直接写出线段BF的范围.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）FD=FC，FD⊥FC，理由如下：
由题意知：∠ADE=∠ACE=90°，AF=EF，
∴DF=AF=EF=CF，
∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，
∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=2∠FAC，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2（∠FAD+∠FAC）=90°，
∴FD=FC，FD⊥FC.
（2）结论不变，理由如下：
延长AC至M使得CM=AC，延长ED至N，使DN=DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O，如图所示，

∵BC⊥AM，AC=CM，
∴AB=BM，同理得：BE=BN，
∵∠ABM=∠EBN，∠NBA=∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN=EM，∠BAN=∠BME，
∵AF=FE，AC=CM，
∴CF=EM，CF∥EM，
同理，FD=AN，FD∥AN，
∴FD=FC，
∵∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH=90°，
∴∠AHO=90°，
即AN⊥MH，
∴FD⊥FC.
（3）由题意知，当点E落在线段AB上时，BF的长最大，如图所示，

此时BF=3，
当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，如图所示，

此时，BF=，
∴≤BF≤3.
3.（2019·偃师一模）特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°．作 CM平分∠ACB 交 AB 于点 M，点 D 为射线 CM 上一点，以点 C 为旋转中心将线段 CD 逆时针旋转 90°得到线段 CE，连接 DE 交射线 CB 于点 F，连接 BD， BE．
填空：
①线段 BD，BE 的数量关系为 ；②线段 BC，DE 的位置关系为 ．
一般：（2）如图 2，在等腰三角形 ABC 中，∠ACB=α，作 CM 平分∠ACB 交AB 于点 M，点 D 为△ABC 外部射线 CM 上一点，以点 C 为旋转中心将线段CD 逆时针旋转 α 度得到线段 CE，连接 DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．
特殊：（3）如图 3，在等边三角形 ABC 中，作 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M，点 D 为射线 BM 上一点，以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60°得到线段 BE，连接 DE 交射线 BA 于点 F，连接 AD，AE．若 AB=4，当△ADM 与△AFD 全等时，请直接写出 DE 的值．

图1 图2 图3
【答案】（1）BD=BE，BC⊥DE；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）由题意知：∠ACM=∠BCM=45°，
由旋转知，∠DCE=90°，CD=CE，
∴∠ECB=∠DCB=45°，
∵BC=BC，
∴△BCD≌△BCE，
∴BD=BE，
∵CD=CE，
∴BC是线段DE的垂直平分线，
∴BC⊥DE，
（2）成立，理由如下，
∵CM平分∠ACB，∠ACB=α，
∴∠ACM=∠BCM=，
由旋转知，∠DCE=α，CD=CE，
∴∠BCD=∠BCE=
又∵BC=BC，
∴△BCD≌△BCE，
∴BD=BE，
∵CD=CE，
∴BC是线段DE的垂直平分线，
∴BC⊥DE.
（3）①如图3，可证得：∠ABE=∠ABD =30°，AB⊥DE，
由△ADM≌△ADF，得：∠FAD=∠MAD=30°，
∴AF=BF=2，
∴DE=2DF，
在Rt△ADF中，DF=AF·tan∠DAF=，
即DE=.
②如下图所示，

同理，得∠FBD=30°，AB=AD=4，
∠ADF=∠ADM=30°，
∴DE=2DF=4，
综上所述，DE的长为：，4.
4.（2019·省实验一模）观察猜想
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是 ，BE+BF＝ ；
探究证明
（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；
拓展延伸
（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．

图1 图2 图3
【答案】（1）BF⊥BE；BC；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）∵∠EAF＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF－∠BAE＝∠BAC－∠BAE,
∴∠BAF＝∠CAE，
∵AF＝AE，AB＝AC，
∴△BAF≌△CAE，
∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，
故答案为: BF⊥BE，BC．
（2）过D作DH∥AC交BC于H，

∵DH∥AC，
∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，
由（1）可证得：BF⊥BE，BF+BE＝BH，
∵AB＝AC＝3，AD＝1，
∴BD＝DH＝2，
∴BH＝2，
∴BF+BE＝BH＝2；
（3）过D作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．

∵AC∥DH，
∴∠ACH＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB
∴∠DBH＝∠H，
∴DB＝DH，
∵∠EDF＝∠BDH＝α，
∴∠BDF＝∠HDE，
∵DF＝DE，DB＝DH，
∴△BDF≌△HDE，
∴BF＝EH，
∴BF+BE＝EH+BE＝BH，
∵DB＝DH，DM⊥BH，
∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，
∴BM＝MH＝BD•sin．
∴BF+BE＝BH＝2n•sin．
5.（2019·濮阳二模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE．
（1）特例猜想
如图1，当α＝90°时，试猜想：
①AF与BE的数量关系是 ；②∠ABE＝ ；
（2）拓展探究
如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．

图1 图2 图3
【答案】（1）AF＝BF，90°；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）设AB交DE于O．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°，
∴∠DFB＝∠DBF＝45°，
∴DF＝DB，
∵∠ADE＝∠FDB＝90°，
∴∠ADF＝∠EDB，
∵DA＝DE，
∴△ADF≌△EDB，
∴AF＝BE，
∴∠DAF＝∠E，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴∠ABE＝∠ADO＝90°，
所以答案为AF＝BF，90°．
（2）结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：
∵DF‖AC
∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∴∠ABC＝∠DFB，
∴DB＝DF，
∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，
即∠ADF＝∠EDB，
∵AD＝DE，
∴△ADF≌△EDB，
∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD
∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，
∴∠ABE＝∠FDB＝α．
（3）分两种情况讨论：
①当点D在线段BC上时，

由（2）可知：BE＝AF，
∵DF∥AC，
∴，
∵AB＝8，
∴AF＝2，
∴BE＝AF＝2，
②当点D在BC的延长线上时，

∵AC∥DF，
∴，
∵AB＝8，
∴AF＝4，即BE=4，
综上所述，BE的长度为2或4．
6.（2019·开封二模）问题发现
如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？
拓展探究
如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．
问题解决
如果△ABC的边长等于2，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．

图1 图2 备用图
【答案】见解析．
【解析】解：（1）如图1，BD＝CE，理由是：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵DE∥BC，
∴△ADE是等边三角形，即AD=AE，
∴BD＝CE；
（2）结论仍然成立，
由图1得：AD＝AE，
由旋转性质得：∠BAD＝∠CAE，
∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
（3）分两种情况讨论，
①如图所示，过D作DG⊥AB，垂足为G，

∵AF⊥DE，AD=AE，
∴∠DAF＝∠EAF＝30°，
∴∠BAD＝30°，
由AD＝2，得：DG＝1，AG＝，
由AB＝2，得：BG＝，
由勾股定理得：BD＝2．
②如图，

由（2）中证明可知：△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∵AD＝AE，DE⊥AC，∠ADE＝60°
∴∠EAF＝∠FAD＝30°，
∴EF＝FD＝AD＝1，
∴AF＝，
∴CF＝AC+CF＝3，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EC＝2，
∴BD＝EC＝2，
综上所述，BD的长为2或2．
7.（2019·安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为　 　．
（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论
（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE：EC＝3：4．点F在线段AE上，且∠EFD＝∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．

图1 图2 图3
【答案】（1）AD＝AB+CD；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）结论：AD＝AB+CD．
理由：
∵AB∥CF，
∴∠CFE＝∠EAB，
∵CE＝EB，∠CEF＝∠AEB，
∴△CEF≌△BEA ，
∴AB＝CF．
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠EAB，
∵∠EAB＝∠CFE，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵DF＝DC+CF＝CD+AB，
∴AD＝AB+CD．
（2）结论：AB＝AF+CF．
理由：延长AE、DC交于G，

∵AB∥DG，
∴∠G＝∠EAB，
∵CE＝EB，∠CEG＝∠BEA，
∴△CEG≌△BEA，
∴AB＝CG，∠G＝∠EAB，
∵AE平分∠FAB，
∴∠FAG＝∠EAB，
∵∠G＝∠EAB，
∴∠FAG＝∠G，
∴FA＝FG，
∵CG＝CF+FG＝CF+AF，
∴AB＝AF+CF．
（3）结论：AB＝（CD+DF）．
延长AE、CD交于G．

∵CG∥AB，
∴，∠G＝∠A，
∴AB＝CG，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFG＝∠G，
∴DF＝DG，
∴CD+DF＝CD+DG＝CG，
∴AB＝（CD+DF）．
8.（2019·中原名校大联考）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，
（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；
（3）【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．

图1 图2
【答案】（