【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(11月第三期)：I单元-统计.docx

I单元　统计
名目
I单元　统计 1
I1　随机抽样 1
I2　用样本估量总体 1
I3 正态分布 1
I4　变量的相关性与统计案例 1
I5 单元综合 1

I1　随机抽样

【数学理卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）word版】4、我校三个班级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
【学问点】系统抽样方法．I1
【答案解析】B 解析：系统抽样的抽取间隔为=6．
设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，
所以x=3．故选：B．
【思路点拨】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，依据编号的和为48，求x即可．

【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】4、我校三个班级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为
A、2 B、3 C、4 D、5
【学问点】系统抽样的意义. I1
【答案解析】B 解析：依据系统抽样的意义，将24 个班分成以下4组：1-6,7-12,13-18,19-24.设1-6号中抽到号码为x,则x+(x+6)+(x+12)+(x+18)=48，解得x=3，故选B.
【思路点拨】依据系统抽样方法的意义求解.

I2　用样本估量总体

【数学理卷·2021届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考（202210）】17．（本小题满分12分）
某学校900名同学在一次百米测试中，成果全部介于秒与秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，其次组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成果小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成果优秀的人数；
（2）请估量本班级900名同学中，成果属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个试验组，设其中男同学的数量为，求的分布列和期望．

【学问点】频率分布直方图;离散型随机变量的分布列与数学期望.I2,K6
【答案解析】(1)3(2)342(3) 的分布列为
P
1
2
3

1/3
1/2
1/6
…… 11分
∴
解析：解：（1）由频率分布直方图知，成果在第一组的为优秀，频率为0.06，
人数为：50×0.06=3
所以该样本中成果优秀的人数为3 ……… …………… 3分
（2）由频率分布直方图知，成果在第三组的频率0.38，以此估量本班级900名同学成果属于第三组的概率为0.38，人数为：900×0.38=342
所以估量本班级900名同学中，成果属于第三组的人数为342。……… 7分
（3）第五组共有50×0.008=4人,其中1男,3女,则的可能取值为1，2，3；
……… 8分
…… 9分
……… 10分
的分布列为
P
1
2
3

1/3
1/2
1/6
…… 11分
∴…………12分
【思路点拨】由直方图可直接求出数据列出分布列，再利用公式计算数学期望.

【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】17、（本题满分12分）
某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名.为争辩工人的日平均生产量是否与年龄有关，现接受分层抽样的方法，从中抽取100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25 周岁以下”分成两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5 组：，
加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1) 从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率.
(2) 规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你依据已知条件作出22列联表，并推断是否有以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？

附表及公式：

0.100
0.050
0.010
0.001
K
2.706
3.841
6.635
10.828

【学问点】用样本估量总体；统计案例；古典概型. I2 I4 K2
【答案解析】(1) ；（2）

生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上
15
45
60
25周岁以下
15
25
40
合计
30
70
100
没有以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”.
解析：（1）由已知得，样本中25周岁以上的工人有60名，25周岁以下的工人有40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上的工人有（名），记为；25周岁以下的工人有(名)，记为.
从中随机任取2名工人，全部可能的结果为：,
，共10种.------2分
其中，至少抽到一名25周岁以下的工人的可能得结果为，，共7种.-----4分
故所求概率.-------6分
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，25周岁以上的生产能手有
（名），25周岁以上的生产能手有（名），----8分
据此可得列联表如下：

生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上
15
45
60
25周岁以下
15
25
40
合计
30
70
100
-------------10分
所以=.
由于1.79<2.706，所以没有以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”.---12分
【思路点拨】(1) 先求样本中日平均生产件数不足60件的工人有5人，其中25周岁以下的2人，25周岁以上的3人，逐个写出从中随机任取2名工人的全部可能结果，共10种.其中
至少抽到一名25周岁以下的工人的可能得结果有7种，故所求概率；
（2）依据频率分布直方图求得：25周岁以上“生产能手”人数及“非生产能手”人数；25周岁以下“生产能手”人数及“非生产能手”人数.从而得列联表，然后据所给公式和附表求值并推断结论.

【数学文卷·2021届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（202210）】20、（本小题满分12分）
茎 叶
5 6 8
6 2 3 3 5 6 8 9
7 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9
8
9 5 8

高一某班的一次数学测试成果的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（Ⅰ）求分数在[50,60)的频率及全班人数；
（Ⅱ）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析同学失分状况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．
【学问点】用样本估量总体I2
【答案解析】（Ⅰ）25（Ⅱ）0.6
（Ⅰ）分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，
由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为＝25.
（Ⅱ）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，
在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本大事为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个。
其中，至少有一个在[90,100]之间的基本大事有9个，
故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是＝0.6.
【思路点拨】依据频率分布直方图比例关系求出全班人数，列出基本大事求出概率。

I3 正态分布

I4　变量的相关性与统计案例

【数学理卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）word版】7、已知取值如下表：

0
1
4
5
6
8

1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得散点图中分析可知：与线性相关，且，则时，=（ ）
A、1.45 B．13.8 C、13 D、12.8
【学问点】线性回归方程．I4
【答案解析】B 解析：由题意，=（0+1+4+5+6+8）=4，
=（）=5.25
∵y与x线性相关，且，
∴5.25=0.95×4+a，∴a=1.45
从而当x=13时，有=13.8．故选B．
【思路点拨】计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，求得a的值，再代入x=13，即可求出y．

【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】17、（本题满分12分）
某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名.为争辩工人的日平均生产量是否与年龄有关，现接受分层抽样的方法，从中抽取100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25 周岁以下”分成两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5 组：，
加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(3) 从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率.
(4) 规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你依据已知条件作出22列联表，并推断是否有以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？

附表及公式：

0.100
0.050
0.010
0.001
K
2.706
3.841
6.635
10.828

【学问点】用样本估量总体；统计案例；古典概型. I2 I4 K2
【答案解析】(1) ；（2）

生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上
15
45
60
25周岁以下
15
25
40
合计
30
70
100
没有以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”.
解析：（1）由已知得，样本中25周岁以上的工人有60名，25周岁以下的工人有40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上的工人有（名），记为；25周岁以下的工人有(名)，记为.
从中随机任取2名工人，全部可能的结果为：,
，共10种.------2分
其中，至少抽到一名25周岁以下的工人的可能得结果为，，共7种.-----4分
故所求概率.-------6分
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，25周岁以上的生产能手有
（名），25周岁以上的生产能手有（名），----8分
据此可得列联表如下：

生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上
15
45
60
25周岁以下
15
25
40
合计
30
70
100
-------------10分
所以=.
由于1.79<2.706，所以没有以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”.---12分
【思路点拨】(1) 先求样本中日平均生产件数不足60件的工人有5人，其中25周岁以下的2人，25周岁以上的3人，逐个写出从中随机任取2名工人的全部可能结果，共10种.其中
至少抽到一名25周岁以下的工人的可能得结果有7种，故所求概率；
（2）依据频率分布直方图求得：25周岁以上“生产能手”人数及“非生产能手”人数；25周岁以下“生产能手”人数及“非生产能手”人数.从而得列联表，然后据所给公式和附表求值并推断结论.

I5 单元综合