湖南省十三校2021届高三第二次联考-数学(理)-Word版含答案.docx

湖南省2021届高三 十三校联考 其次次考试

数学（理）

麓山国际 联合命题
由
长郡中学 衡阳八中 永州四中 岳阳县一中 湘潭县一中 湘西州民中
石门一中 澧县一中 郴州一中 益阳市一中 桃源县一中 株洲市二中

一．选择题
1．集合，则（ B ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，真命题是 （ D ）
A．，使得 B．
C．函数有两个零点 D．是的充分不必要条件3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( C )

A． B． C． D．6
4．（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ D ）
A．确定是奇函数 B．确定是偶函数
C．确定是奇函数 D．确定是偶函数
5．已知函数，集合，现从M中任取两个不同的元素，则的概率为( A )
A． B． C． D．
6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（ D ）
A.1008 B.2021
C.1007 D.

7．已知抛物线，点，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点，使得，则实数m的取值范围是（ B ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8．设函数在R上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”若给定函数，则下列结论不成立的是（ B 　）
A. B.
C. D.
9.已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
（第10题图）
10．如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若且，则双曲线的离心率为( B )
A． B． C． D．

二．填空题
（一）选做题
11．如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，，若，，则 3 .

12．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点为直线上一点，点为曲线为参数）上一点，则的最小值为 .
13．已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的x∈R，f(x)≥f(3)=f(4)都成立，则k的取值范围为 .

（二）必做题
14．设，则二项式的开放式的常数项是____-160_____.

15．假照实数满足条件：，则的最大值是 。
16．平面对量满足，，，，则的最小值为 .

三．解答题

17．（本题满分12分）一个袋子装有大小外形完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球.
(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；
(II)记为取出的3个球中编号的最小值，求的分布列与数学期望.

解:(I)设“取出的3个球编号都不相同”为大事A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为大事B，则，………………4分
(II)的取值为1,2,3,4

…………………8分
所以的分布列为：

1
2
3
4

的数学期望………..12分

18．已知函数的最大值为2.
(1)求函数在上的单调递减区间;
(2)△ABC中,,角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积。
【解析】（1）由题意，的最大值为，所以．
而，于是，．
为递减函数，则满足 ，
即． 所以在上的单调递减区间为．
……………….5分
（2）设△ABC的外接圆半径为，由题意，得．
化简，得
． 由正弦定理，
得，． ①…………………….8分
由余弦定理，得，即． ②……………….10分
将①式代入②，得．
解得，或 （舍去）．． ……………….12分

19.（本题满分12分）如图,在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为与的交点， 为上任意一点.
(I)证明：平面平面；
(II)若平面，并且二面角的大小为，求的值.

解:(I) 由于，，
又是菱形，，故平面
平面平面…….4分
(II)解：连结，由于平面，
所以，所以平面
又是的中点，故此时为的中点，
以为坐标原点，射线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
设则，

向量为平面的一个法向量……….8分
设平面的一个法向量，
则且，
即，
取，则，则………10分
解得
故……………………………12分

20 （本题满分13分）
已知数列中，
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若是数列的前n项和，求满足的全部正整数n.
解：（Ⅰ）设，
由于
==,
所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列. ……… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即，
由，得，
所以，

…………………….10分
明显当时，单调递减，
又当时，＞0，当时，＜0，所以当时，＜0；
，
同理，当且仅当时，＞0，
综上，满足的全部正整数为1和2．…………………………………… 13分

21.已知离心率为的椭圆 的右焦点F是圆的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M,N(与P点不重合)两点
(1)求椭圆方程
(2)求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标
解：（1）圆心坐标（1，0），所以c=1，又，∴
故b=1,故椭圆方程为 ……… 4分
(2)设P（，，

∴ ………….. 6分
直线PM的方程
∴
同理
∴m,n是方程两实根
由韦达定理： ……… 9分
…11分
令 ，
明显由f(x)的单调性知
∴，此时
故P点坐标为（），即椭圆左顶点 ……………… 13分

22．设函数．
(1)若函数在上为减函数，求实数的最小值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）由已知得x＞0，x≠1．
因f (x)在上为减函数，故在上恒成立．…1分
所以当时，．
又，………2分
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为． ……………4分
（Ⅱ）命题“若存在使成立”等价于
“当时，有”． ………………………5分
由（Ⅰ），当时，，．
问题等价于：“当时，有”． …………………6分
①当时，由（1），在上为减函数，
则=，故． …………………8分
②当<时，由于在上的值域为
（ⅰ），即，在恒成立，故在上为增函数，
于是，，冲突．…………………10分
（ⅱ），即，由的单调性和值域知，
存在唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以，，……………………12分
所以，，与冲突．
综上得……………………………………………………………13分