2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx

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课时提升作业(二十)
一、选择题
1.函数f(x)=1-2sin2x是( )
（A）最小正周期为2π的奇函数
（B）最小正周期为2π的偶函数
（C）最小正周期为π的奇函数
（D）最小正周期为π的偶函数
2.（2021·揭阳模拟）在△ABC中，tan A+tan B+=tan A·tan B，则C等于( )

3.若tan α=lg(10a),tan β=lg,且α+β=,则实数a的值为( )
（A）1 （B）
（C）1或 （D）1或10
4.函数f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数，则θ为( )
（A）kπ(k∈Z) （B）kπ+ (k∈Z)
（C）kπ+(k∈Z) （D）-kπ- (k∈Z)
5.已知cos α=,cos(α+β)=- ,且α，β∈(0,)，则cos(α-β)的值等于( )

6.（2021·湛江模拟）若钝角α满足cos α=-,则tan()的值为( )
（A）3 （B）-3 （C） （D）-
二、填空题
7.化简:sin2x+2sin xcos x+3cos2x=_______.
8.（2021·泰州模拟）已知sin α=,cos β=,其中α,β∈(0,)，则α+β=_______.
9.（力气挑战题）已知：0°＜α＜90°,0°＜α+β＜90°,3sin β=sin(2α+β),则tan β的最大值是________.
三、解答题
10.（2021·惠州模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω＞0,0≤≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若α∈(-,),f(α+)=,求sin(2α+)的值.
11.（2021·中山模拟）已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω＞0,0＜＜π)的最小正周期为π，且f()=.
（1）求ω, 的值.
（2）若f()=- (0＜α＜π),求cos 2α.
12.(力气挑战题)函数f(x)=
(1)若x∈［,］，求函数f(x)的最值及对应的x的值.
(2)若不等式［f(x)-m］2＜1在x∈［, ］上恒成立，求实数m的取值范围.

答案解析
1.【解析】选D.∵f(x)=1-2sin2x=cos 2x,
∴T==π.
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
2.【解析】选A.由题意得，
tan A+tan B=-（1-tan Atan B），
∴,
即tan(A+B)=- ,
∴tan C=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)= ,
∵0＜C＜π,∴C=.
3.【思路点拨】利用两角和的正切公式求出tan(α+β)的值，然后转化成关于lg a的一元二次方程求得lg a的值，进而求出a的值.
【解析】选C.tan(α+β)=1⇒
⇒lg2a+lg a=0,
所以lg a=0或-1,即a=1或.
4.【解析】选D.由已知得，f(x)=2［cos(3x-θ)-
sin(3x-θ)］=2sin(-3x+θ)
=-2sin(3x--θ).
∵f(x)是奇函数，∴--θ=kπ,k∈Z.
故θ=-kπ-,k∈Z.
5.【解析】选D.∵α∈(0, ),∴2α∈(0,π).
∵cos α=,∴cos 2α=2cos2α-1=-,
∴sin 2α=
∵α，β∈(0,),∴α+β∈(0,π),
∴sin(α+β)=
∴cos(α-β)=cos［2α-(α+β)］
=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)

6.【解析】选B.∵cos α=-,α∈(,π),∴sin α=,
tan α=-,∵=-tan(α+)=-tan［2()］=
∵α∈(,π),
∴
7.【解析】原式=2sin xcos x+2cos2x+cos2x+sin2x
=sin 2x+1+cos 2x+1
=sin(2x+)+2
答案：sin(2x+)+2
8.【解析】∵α,β∈(0, ),sin α=,cos β=，
∴cos α=,sin β=.
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=0.
∵α,β∈(0, ),∴0＜α+β＜π.
∴α+β=.
答案：
9.【解析】由3sin β=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)，化简得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α,
∴tan(α+β)=2tan α,
∴tan β=tan(α+β-α)=
=
由题意知，tan α＞0,
∴+2tan α≥2
（当且仅当=2tan α,即tan α=时等号成立），
∴tan β的最大值为.
答案：
【方法技巧】三角函数和差公式的机敏应用
(1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的机敏应用格外关键，公式可以正用、逆用、变形应用.
(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换，毁灭和或差的形式，即毁灭能逆用公式的条件；有时通过两式平方相加减,利用平方关系式，切函数化成弦函数等技巧.
10.【解析】(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π,
∴T=2π,则ω= =1.∴f(x)=sin(x+).
∵f(x)是偶函数，∴=kπ+ (k∈Z),
又0≤≤π,∴=.
则f(x)=cos x.
(2)由已知得cos(α+)=,∵α∈(-,),
∴α+∈(0,).
则sin(α+)=.
∴sin(2α+)=-sin(2α+)
=-2sin(α+)cos(α+)=-.
11.【思路点拨】（1）利用T=得ω,利用f()得.
(2)利用f()=-代入解析式f(x)并化简，再构造角即可求cos 2α.
【解析】（1）由函数的最小正周期为π，可知=π,所以ω=2.
又由f()=,得2sin()=,
所以cos =,
又∈(0,π),所以=.
(2)由f()=-，得sin(α+)=-.
由于α∈(0,π),
所以α+∈(,),又sin(α+)=-＜0,
所以cos(α+)=-,
所以cos 2α=sin(+2α)=2sin(+α)cos(+α)=.
【变式备选】若向量m=(sin ωx,0)，n=(cos ωx,-sin ωx)(ω＞0)，
在函数f(x)=m·(m+n)+t的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当x∈［0,］时，f(x)的最大值为1.
（1）求函数f(x)的解析式.
（2）求函数f(x)的单调递增区间.
【解析】（1）由题意得f(x)=m·(m+n)+t=m2+m·n+t=3sin2ωx+sin ωx·
cos ωx+t
=-cos 2ωx+sin 2ωx+t
=sin(2ωx-)+ +t.
∵对称中心到对称轴的最小距离为，
∴f(x)的最小正周期为T=π.
∴=π,∴ω=1.
∴f(x)= sin(2x-)++t,
当x∈［0, ］时，2x-∈［-,］，
∴当2x-=，即x=时,
f(x)取得最大值3+t.
∵当x∈［0, ］时，f(x)max=1,
∴3+t=1,∴t=-2,
∴f(x)= sin(2x-)-.
(2)由（1）知-.
2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
2kπ-≤2x≤2kπ+π,kπ-≤x≤kπ+π,
∴函数f(x)的单调递增区间为［kπ-,kπ+π］(k∈Z).
12.【思路点拨】（1）先利用所学公式把f(x)变换成f(x)=Asin(ωx+)+b的形式.利用所给x的范围，求得最值及对应x的值.（2）利用不等式变换转化成不等式恒成立问题求解.
【解析】(1)f(x)= sin 2x-
=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,
∵x∈［,］,∴≤2x-≤,
当2x-=，即x=时，f(x)max=0,
当2x-=，即x=时，f(x)min=-.
(2)方法一：∵［f(x)-m］2＜1（x∈［,］）⇔f(x)-1＜m＜f(x)+1(x∈
［,］),
∴m＞f(x)max-1且m＜f(x)min+1,
故m的取值范围为（-1，）.
方法二：∵［f(x)-m］2＜1⇔m-1＜f(x)＜m+1,
∴m-1＜-且m+1＞0,故-1＜m＜,
故m的取值范围是(-1, ).
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