【2021届备考】2021届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期)：I单元-统计.docx

I单元　统计
名目
I单元　统计 1
I1　随机抽样 1
I2　用样本估量总体 3
I3 正态分布 5
I4　变量的相关性与统计案例 5
I5 单元综合 6

I1　随机抽样

【数学理卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】18.（本题满分12分）
某市四所中学报名参与某高校今年自主招生的同学人数如下表所示：
中学

人数

为了了解参与考试的同学的学习状况，该高校接受分层抽样的方法从报名参与考试的四所中学的同学当中随机抽取50名参与问卷调查．
（1）问四所中学各抽取多少名同学？
（2）从参与问卷调查的名同学中随机抽取两名同学，求这两名同学来自同一所中学的概率；
（3）在参与问卷调查的名同学中，从来自两所中学的同学当中随机抽取两名同学，用表示抽得中学的同学人数，求的分布列．
【学问点】随机抽样古典概型离散型随机变量以及分布列I1 K2 K6
【答案】（1）；(2) ；(3) .
【解析】解析：（1）由题意知，四所中学报名参与该高校今年自主招生的同学总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为．
∴应从四所中学抽取的同学人数分别为． …………… 4分
（2）设“从名同学中随机抽取两名同学，这两名同学来自同一所中学”为大事，
从名同学中随机抽取两名同学的取法共有种，… 5分
来自同一所中学的取法共有． …………… 6分
∴．
答：从名同学中随机抽取两名同学来自同一所中学的概率为． … 7分
（3）由（1）知，名同学中，来自两所中学的同学人数分别为．
依题意得，的可能取值为， ………… 8分
，，．…… 11分
∴的分布列为： … 12分

【思路点拨】(1)由题意知抽取的样本容量与总体个数的比值为,由此能求出应从A，B，C，D四所中学抽取的同学人数；（2）利用组合的意义分别计算出从参与问卷调查的50名同学中随机抽取两名同学的方法和这两名同学来自同一所中学的取法，再利用古典概型的概率计算公式即可得出；（3）由（1）知，在参与问卷调查的50名同学中，来自A，C两所中学的同学人数分别为15，10．可得ξ的可能取值为0，1，2．利用超几何分布的概率计算公式即可得到分布列，利用数学期望的概率计算公式即可得出．

【数学文卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）word版】12．某校选修篮球课程的同学中，高一同学有30名，高二同学有40名，现用分层抽样的方法在这70 名同学中抽取一个容量为n的样本，已知在高一同学中抽取了6人，则在高二同学中应抽取___人．
【学问点】分层抽样的意义. I1
【答案】【解析】8解析：在高二同学中应抽取人.
【思路点拨】依据分层抽样的意义求结论.

I2　用样本估量总体

【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】20．（本小题满分12分）
节日期间,高速大路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速大路的车速(km/h)分成六段后得到如下图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法?
（Ⅱ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估量值.
（Ⅲ）若从车速在的车辆中任抽取2辆,求抽出
的2辆车中车速在的车辆数的分布列及
数学期望.
【学问点】频率分布直方图，分布列与数学期望I2 K6
【答案】【解析】（Ⅰ）系统抽样（Ⅱ）中位数的估量值为（Ⅲ）的分布列为均值.
解析：（I）系统抽样……………………2分
（II）众数的估量值为最高的矩形的中点,即众数的估量值等于，
设图中虚线所对应的车速为,则中位数的估量值为
,解得
即中位数的估量值为……………………6分
（Ⅲ）从图中可知，车速在的车辆数为（辆）.
车速在的车辆数为（辆），

的分布列为
均值. ……………………12分
【思路点拨】（II）众数的估量值为最高的矩形的中点（Ⅲ）由题意求出

即可求得分布列与期望.

【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】17. （本题满分13分）从某校高三同学中抽取名同学参与数学竞赛，依据成果（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成果的范围是区间 [40, 100),且成果在区间[70, 90)的同学人数是27人.⑴求的值;
⑵若从数学成果（单位：分）在[40,60)的同学中随机选取2人进行成果分析，求至少有1人成果在[40, 50)内的概率.

【学问点】用样本估量总体；古典概型. I2 K2
【答案】【解析】（1）50；（2）.解析：⑴成果在区间的频率是：
1(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，
∴人．
⑵成果在区间的同学人数是：50×0.04=2人，
成果在区间的同学人数是：50×0.06=3人，
设成果在区间的同学分别是A1，A2，成果在区间的同学分别是B1，B2，B3，
从成果在的同学中随机选取2人的全部结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，
(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10种状况．
至少有1人成果在内的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7种状况．
∴至少有1人成果在内的概率P=．
【思路点拨】（1）先求成果在区间的频率，由频率=得n值；（2）分别求出成果在区间的同学人数2人，和成果在区间的同学人数3人，用列举法写出从这5人中随机选取2人的全部状况共10种，其中至少有1人成果在内的结果有7种，从而得所求概率.

I3 正态分布

I4　变量的相关性与统计案例

【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】4.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：

由上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的男生的体重大约为（）
A．70.09B．70.12C．70.55D．71.05
【学问点】线性回归方程I4
【答案】【解析】B解析：由题意可得，代入回归直线方程所以身高为的男生的体重大约为
，故选B.
【思路点拨】由题意可得回归直线方程过点可求，代入身高即可求出男生体重.

I5 单元综合