图书-2022届-数学一轮(理科)北师大版-阶段回扣练11-第十一章-计数原理.docx

阶段回扣练11　计数原理　
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．(2021·江西卷)5开放式中的常数项为 (　　)
A．80 B．－80
C．40 D．－40
解析　二项开放式的通项为Tr＋1＝C(x2)5－r·(－1)r2rx－3r＝C·(－1)r·2r·x10－5r.令10－5r＝0，解得r＝2，所以常数项为T3＝C·22＝40，选C.
答案　C
2．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (　　)
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
解析　法一　分两种状况：(1)2门A,1门B，有CC＝12种选法；(2)1门A,2门B，有CC＝3×6＝18种，∴共12＋18＝30种选法．
法二　排解法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A、B各至少选1门，有C－C－C＝35－1－4＝30种选法．故选A.
答案　A
3．(2021·宝鸡质检)(1＋3x)n(其中n∈N＋，且n≥6)的开放式中x5与x6的系数相等，则n等于 (　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析　(1＋3x)n的开放式中含x5的项为C(3x)5＝C35x5，开放式中含x6的项为C36x6.
由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.
答案　B
4．(2021·杭州检测)甲、乙两人方案从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有 (　　)
A．3种 B．6种
C．9种 D．12种
解析　甲、乙各选两个景点有CC＝9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种．∴满足条件要求的选法共有9－3＝6(种)．
答案　B
5．(2021·南昌模拟)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
(　　)
A．33 B．34
C．35 D．36
解析　(1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数为CA.
(2)当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C×1＝C.
(3)当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有CA个．∴由分类加法计数原理，共确定不同的点有CA＋C＋CA＝33(个)．
答案　A
6．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的开放式中，含x3的项的系数是(　　)
A．74 B．121
C．－74 D．－121
解析　开放式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝
－121.
答案　D
7．组合式C－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC的值等于 (　　)
A．(－1)n B．1
C．3n D．3n－1
解析　在(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn中，令x＝－2，得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
答案　A
8．将10个三好名额分到7个班中，每班至少一名，则分法种数为 (　　)
A．A B．C
C．84 D．63
解析　可分三类：
第一类：有一个班有4个，另外六个班各一个，共C种分法；
其次类：有两个班：一班3个，另一班2个；其余班每班各一个，共A＝42种分法；
第三类：有三个班：每班2个；其余4个班，每班1个，分法种数为C＝35种．
∴分法总数为C＋A＋C＝7＋42＋35＝84.
答案　C
9．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 (　　)
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
解析　先放1、2的卡片，有C种，再将3,4,5,6的卡片平均分成两组再放置，有·A种，故共有C·C＝18种．
答案　B
10．(2021·北京昌平区期末)在高三(1)班进行的演讲竞赛中，共有5位选手参与，其中3位女生，2位男生．假如2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场挨次的排法种数为 (　　)
A．24 B．36
C．48 D．60
解析　先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有AA＝72(种)，若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有AA＝12(种)，∴满足条件的出场挨次有72－12＝60(种)排法，选D.
答案　D
二、填空题
11．设二项式6(a>0)的开放式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
解析　6开放式的通项

∴A＝(－a)2C，B＝(－a)4C，
由B＝4A，得(－a)4C＝4(－a)2C，解之得a＝±2.
又a>0，所以a＝2.
答案　2
12．(2022·山东卷)若6的开放式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．
解析　Tr＋1＝C(ax2)6－rr＝Ca6－rbrx12－3r，
令12－3r＝3，则r＝3.
∴Ca3b3＝20，即ab＝1.∴a2＋b2≥2ab＝2，
当且仅当a＝b＝1时取等号，即a2＋b2的最小值为2.
答案　2
13．(2022·大纲全国卷)8的开放式中x2y2的系数为________(用数字作答)．

答案　70
14．(2022·安徽卷)设a≠0，n是大于1的自然数，n的开放式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.

解析　依据题意知a0＝1，a1＝3，a2＝4，
结合二项式定理得即
解得a＝3.
答案　3
15．(2021·西安二模)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最终一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种(用数字作答)．
解析　甲传第一棒，乙传最终一棒，共有A种方法．乙传第一棒，甲传最终一棒，共有A种方法．
丙传第一棒，共有C·A种方法．由分类加法计数原理得，共有A＋A＋C·A＝96种方法．
答案　96
16．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．
解析　当每个台阶上各站1人时有AC种站法，当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法，因此不同的站法种数有AC＋CCC＝210＋126＝336(种)．
答案　336
17．将6位志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人．分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的安排方案种数有________种．
解析　将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有＝×15×6＝45种分组方法．
将四组分赴四个不同场馆有A种方法．
∴依据分步乘法计数原理，不同的安排方案有45·A＝1 080种方法．
答案　1 080