【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：7.5.docx

第七章 7.5第5课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
(ⅰ)1*1=，(ⅰⅰ)（n+1）*1=n*1+1,则n*1等于（ ）
A.n　　　　　　　　　　 B．n＋1
C．n－1 D．n2
答案　A
解析　由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n－1).又∵1*1=1, ∴n*1= n.
2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2011＝(　　)
A．3 B．－3
C．6 D．－6
答案　A
解析　∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3……
∴{an}是以6为周期的周期数列
又2011＝6×335＋1，∴a2011＝a1＝3.选A.
3．由于对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数，
而y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数，
上面的推理错误的是(　　)
A．大前提　　　　　　　B．小前提
C．推理形式 D．以上都是
答案　A
解析　y＝logax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选A
4．把正整数按确定的规章排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j＝N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为(　　)

1

2
4

3
5
7

6
8
10
12

9
11
13
15
17

14
16
18
20
22
24
…

A.105 B．106
C．107 D．108
答案　C
解析　由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，由于第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
5．设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，则f2009(x)等于(　　)
A．－ B．x
C. D.
答案　D
解析　计算：f2(x)＝f()＝＝－，f3(x)＝f(－)＝＝，f4(x)＝＝x，f5(x)＝f1(x)＝，归纳得f4k＋1(x)＝，k∈N*，从而f2009(x)＝.
6．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是(　　)
A．(3,8) B．(4,7)
C．(4,8) D．(5,7)
答案　D
解析　观看可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是依据横坐标依次增大的挨次来排的，由＝60⇒n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10时，＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，
∴第60个数对是(5,7)．
7．某纺织厂的一个车间技术工人m名(m∈N*)，编号分别为1,2,3，…，m，有n台(n∈N*)织布机，编号分别为1,2,3，…，n，定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij＝1，否则aij＝0，则等式a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3的实际意义是(　　)
A．第4名工人操作了3台织布机
B．第4名工人操作了n台织布机
C．第3名工人操作了4台织布机
D．第3名工人操作了n台织布机
答案　A
解析　a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3中的第一下标4的意义是第四名工人，其次下标1,2，…，n表示第1号织布机，第2号织布机，……，第n号织布机，依据规定可知这名工人操作了三台织布机．
二、填空题
8．已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，则第5个等式为________，…，推广到第n个等式为__________________．(留意：按规律写出等式的形式，不要求计算结果)
答案　1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5；1－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·(1＋2＋3＋…＋n)
解析　依据前几个等式的规律可知，等式左边的各数是自然数的平方，且正负相间，等式的右边是自然数之和且隔项符号相同，由此可推得结果．
9．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R(定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为R2tan α，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．

答案　R2tan
解析　

将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，内接矩形的最大面积S＝2·R2·tan α＝R2·tan α，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R2tan.
10．已知＝2， ＝3，＝4，…，若＝6，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推想a，t的值，则a＋t＝________.
答案　41
解析　依据题中所列的前几项的规律可知其通项应为＝n，所以当n＝6时a＝6，t＝35，a＋t＝41.
11．设P是边长为a的正三角形ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则h1＋h2＋h3＝a；类比到空间，设P是棱长为a的正四周体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1＋h2＋h3＋h4＝________.
答案　

a
解析　如图，连接AP，BP，CP，DP，则正四周体ABCD可分成四个小三棱锥，依据体积相等可得，正四周体的体积为×a2×a＝×a2(h1＋h2＋h3＋h4)，所以h1＋h2＋h3＋h4＝a.
12．观看下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推想，m－n＋p＝________.
答案　962
解析　观看等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128 构成了公比为4的等比数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得
1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350　　(1)；
取α＝，则cos α＝，cos 10α＝－，代入等式⑤，得－＝m()10－1280×()8＋1120×()6＋n×()4＋p×()2－1，即n＋4p＝－200　　(2)．
由(1)，(2)可得n＝－400，p＝50，∴m－n＋p＝926.
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
答案　　
解析　对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，而T4，，，的公比为q16，因此T4，，，成等比数列．
三、解答题
14．已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，则KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线－＝1(a>0，b>0)具有的类似的性质，并加以证明．
解析　双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．
下面给出证明：
设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，且－＝1.
又设点P的坐标为(x，y)，由KPM＝，KPN＝得
KPM·KPN＝·＝，①
将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入①式，得KPM·KPN＝(定值)．
15．已知函数f(x)＝(ax－a－x)，其中a>0，且a≠1.
(1)推断函数f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；
(2)推断f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明；
解析　(1)由已知得f′(x)＝(ax＋a－x)>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(2)f(2)－2>f(1)－1，f(3)－3>f(2)－2.
一般的结论为：f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈N*)．
证明过程如下：
事实上，上述不等式等价于f(n＋1)－f(n)>1⇔>1⇔(an＋1－1)(an－1)>0，在a>0且a≠1的条件下，(an＋1－1)(an－1)>0明显成立，故f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈N*)成立．

拓展练习·自助餐

1．自然数按下列的规律排列
1　 2　　 5　　 10　　 17
|　　 |　 　 |　 　 |
4 － 3　　 6　 11　　 18
| | |
9 － 8 － 7　12　　 19
| |
16 － 15 － 14 －13　20
|
25 － 24 － 23 － 22 － 21
则上起第2007行，左起第2008列的数为(　　)
A．20072　　　　　　　B．20082
C．2006×2007 D．2007×2008
答案　D
解析　经观看可得这个自然数表的排列特点：
①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；
②第一行第n个数为(n－1)2＋1；
③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；
④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.
故上起第2007行，左起第2008列的数，应是第2008列的第2007个数，即为[(2008－1)2＋1]＋2006＝2007×2008.
2．观看下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形．

答案　28
解析　设第n个图中小正方形个数为an，
则a1＝3，a2＝a1＋3＝6，a3＝a2＋4＝10，a4＝a3＋5＝15，a5＝a4＋6＝21，a6＝a5＋7＝28.
3．给出下列不等式：23＋53>22·5＋2·52,24＋54>23·5＋2·53,2＋5>22·5＋2·52，….请将上述不等式在左右两端仍为两项和的状况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________．
答案　am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)
解析　由“23＋53>22·5＋2·52”，“24＋54>23·5＋2·53”，“2＋5>22·5＋2·52”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“＋>·＋·”的形式．
再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a□＋b□>a□·b□＋a□·b□”的形式．
再分析指数间的关系，可得精确     的推广形式：am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)．
4．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：______________________________________________________________；
②式可用语言叙述为____________________________________________．
答案　①(πR3)′＝4πR2
②球的体积函数的导数等于球的表面积函数
5．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，

第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
答案　n2＋n
解析　第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.
6．

如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规章标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签20092的格点的坐标为________．
解析　∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1005,1004)处标20092.
答案　(1005,1004)

老师备选题

1． (1)已知函数f(x)＝x3－x，其图象记为曲线C.
(ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(ⅱ)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另一点P2(x2，f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；
(2)对于一般的三次函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，请给出类似于(1)(ⅱ)的正确命题，并予以证明．
解析　解法一　(1)(ⅰ)由f(x)＝x3－x得f′(x)＝3x2－1＝3(x－)(x＋)．
当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－，)时，f′(x)＜0.
因此，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．

(ⅱ)曲线C在点P1处的切线方程为
y＝(3x－1)(x－x1)＋x－x1，
即y＝(3x－1)x－2x.
由
得x3－x＝(3x－1)x－2x，
即(x－x1)2(x＋2x1)＝0，
解得x＝x1或x＝－2x1，故x2＝－2x1.
进而有S1＝|(x3－3xx＋2x)dx|
＝|(x4)－xx2＋2xx)|＝x.
用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3＝－2x2和S2＝x.
又x2＝－2x1≠0，所以S2＝x≠0，因此有＝.
(2)记函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象为曲线C′，类似于(1)(ⅱ)的正确命题为：若对于任意不等于－的实数x1，曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3)) ，线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．
证明如下：
由于平移变换不转变面积的大小，故可将曲线y＝g(x)的对称中心(－，g(－))平移至坐标原点，因而不妨设g(x)＝ax3＋hx，且x1≠0.
类似(1)(ⅱ)的计算可得S1＝ax，S2＝ax≠0.
故＝.
解法二　(1)同解法一．
(2)记函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象为曲线C′，类似于(1)(ⅱ)的正确命题为：若对于任意不等于－的实数x1，曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．
证明如下：
由g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)得g′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以曲线C′在点(x1，g(x1))处的切线方程为y＝(3ax＋2bx1＋c)x－2ax－bx＋d.
由
得(x－x1)2[a(x＋2x1)＋b]＝0，
∴x＝x1或x＝－－2x1，即x2＝－－2x1，故
S1＝|[ax3＋bx2－(3ax＋2bx1)x＋2ax＋bx]dx|＝，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3＝－－2x2和S2＝.
又x2＝－－2x1，且x1≠－，
所以S2＝＝＝≠0，
故＝.