2021高考数学(福建-理)一轮作业：5章-章末检测.docx

第五章　章末检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则 (　　)

A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
2．(2011·金华月考)已知a＝(cos 40°，sin 40°)，b＝(sin 20°，cos 20°)，则a·b等于 (　　)
A．1 B. C. D.
3.已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是 (　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．任意三角形
4．(2010·山东)定义平面对量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是 (　　)
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 (　　)
A．6 B．2 C．2 D．2
6．(2010·广东)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
7.（2010·辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于 (　　)
A. B.
C. D.
8.O是平面上确定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP确定通过△ABC的 (　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
9．已知a＝(sin θ，)，b＝(1，)，其中θ∈，则确定有 (　　)
A．a∥b B．a⊥b
C．a与b的夹角为45° D．|a|＝|b|
10．(2010·湖南师大附中月考)若|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a，b的夹角为(　　)
A．45° B．60° C．120° D．135°
11．(2011·广州模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，)，则|a＋b|的最大值(　　)
A．1 B. C．3 D．9
12．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A. B.
C. D.
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答　案

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2010·江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.
14．(2010·舟山调研)甲船在A处观看乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．
15.（2010·天津）如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________.

16.（2011·济南模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

18．(12分)已知A、B、C的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，C(3cos α，3sin α)．
（1）若α∈,且||＝||，求角α的大小；
（2）若⊥，求的值．

19．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试推断△ABC的外形．

20（12分）已知向量＝，＝，定义函数f(x)＝·.
(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面积S.

21．(12分)(2011·衡阳月考)在海岸A处，发觉北偏东45°方向，距离A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以
10n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

22．(12分)(2010·天津一中高三第四次月考)设A，B，C为△ABC的三个内角，m＝(sin B＋sin C,0)，n＝(0，sin A)且|m|2－|n|2＝sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)求sin B＋sin C的取值范围．

2．B　[由数量积的坐标表示知
a·b＝cos 40°sin 20°＋sin 40°cos 20°
＝sin 60°＝.]

4．B　[∵a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－mq，
∴a⊙b≠b⊙a.]
5．D　[由于F＝F＋F－2|F1||F2|cos(180°－60°)＝28，所以|F3|＝2.]
6．C　[∵(8a－b)＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)，
∴(8a－b)·c＝6×3＋3x＝30，∴x＝4.]
7．C　[S△OAB＝|a||b|sin〈a，b〉
＝|a||b|
＝|a||b|
＝.]

9．B　[a·b＝sin θ＋|sin θ|，∵θ∈，
∴|sin θ|＝－sin θ，∴a·b＝0，∴a⊥b.]
10．A　[由a⊥(a－b)，得a2－a·b＝0，
即a2＝a·b，所以|a|2＝|a||b|cos θ.
由于|a|＝1，|b|＝，所以cos θ＝，
又θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°.]
11．C　[由a＋b＝(sin x＋1，cos x＋)，
得|a＋b|＝
＝
＝
＝≤＝3.]
12．D　[设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又(c＋a)∥b，
∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又c⊥(a＋b)，
∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
由①②解得x＝－，y＝－.]
13.
解析　如图，a＝，b＝，a－b＝－＝，由余弦定理得，|a－b|＝.
14．北偏东30°　a
解析　如图所示，

设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，
则BC＝tv，AC＝tv，B＝120°，
由正弦定理知
＝，
∴＝，
∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝a，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°
＝a2＋a2－2a2·＝3a2，
∴AC＝a.
15.
.
16.
解析　设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
由·＝·
得：cbcos A＝cacos B.
由正弦定理得：sin Bcos A＝cos Bsin A，
即sin(B－A)＝0，由于－π<B－A<π
所以B＝A，从而b＝a.
由已知·]＝1 得：accos B＝1，
由余弦定理得：ac＝1，
即a2＋c2－b2＝2，所以c＝.
17．方法一 由题意知＝(3,5)，
＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．……………………………………………………(3分)
所以，＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2、4.…………………………………………(6分)
方法二　设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B、C的中点，E(0,1)，又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)．
故所求的两条对角线的长分别为
BC＝4，AD＝2.……………………………………………………………………(6分)
（2）由题设知：＝(－2，－1)，
－t＝(3＋2t,5＋t)．………………………………………………………………(8分)
由(－t)·＝0，得：
(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.…………………………………………………………(10分)

19．解　(1)由已知，依据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.………………………………………………………………………(4分)
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，∵A∈(0°，180°)
∴A＝120°.………………………………………………………………………………(6分)
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝.………………………………………………(9分)
由于0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C＝30°.
所以△ABC是等腰的钝角三角形．……………………………………………………(12分)
20．解 （1）f(x) ＝·＝(－2sin x，－1)·(－cos x，cos 2x)＝sin 2x－cos 2x
＝sin，…………………………………………………………………………(4分)
∴f(x)的最大值和最小值分别是和－.……………………………………………(6分)
(2)∵f(A)＝1，∴sin＝.
∴2A－＝或2A－＝.
∴A＝或A＝.…………………………………………………………………………(9分)
又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝.∵bc＝8，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×＝2.……………………………………(12分)
21．解　设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图(如图所示)，

则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，
∵AB＝－1，AC＝2，
∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos 120°＝6，……………………………………(4分)
∴BC＝，且sin∠ABC＝sin∠BAC
＝×＝，
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．………………………………………………(8分)
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝
＝＝，
∴∠BCD＝30°，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．…………………(12分)
22．解　(1)∵|m|2－|n|2＝(sin B＋sin C)2－sin2A
＝sin2B＋sin2C－sin2A＋2sin Bsin C……………………………………………………(3分)
依题意有，
sin2B＋sin2C－sin2A＋2sin Bsin C＝sin Bsin C，
∴sin2B＋sin2C－sin2A＝－sin Bsin C，…………………………………………………(6分)
由正弦定理得：b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝＝＝－，∵A∈(0，π)
所以A＝.………………………………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知，A＝，∴B＋C＝，
∴sin B＋sin C＝sin B＋sin
＝sin B＋cos B＝sin.………………………………………………………(10分)
∵B＋C＝，∴0<B<，
则<B＋<，则<sin≤1，
即sin B＋sin C的取值范围为.……………………………………………(12分)