2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第八章第2课时.docx

[基础达标]
1．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　)
A．(3，0) B．(－3，0)
C．(0，－3) D．(0，3)
解析：选D．∵l1∥l2，且l1的斜率为2，∴l2的斜率为2.
又l2过(－1，1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，
整理即得：y＝2x＋3，令x＝0，得y＝3，∴P点坐标为(0，3)．
2．当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B．解方程组得两直线的交点坐标为.由于0<k<，所以<0，>0，故交点在其次象限．
3．已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C．由k1＝k2，1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．
4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点(　　)
A．(0，4) B．(0，2)
C．(－2，4) D．(4，－2)
解析：选B．由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)．
5．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A．3 B．2
C．3 D．4
解析：选A．依题意知，AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，依据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，
即l：x＋y－6＝0，依据点到直线的距离公式，
得M到原点的距离的最小值为＝3.
6．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且2lg(sin B)＝lg(sin A)＋lg(sin C)，则两条直线l1：xsin2A＋ysin A＝a与l2：xsin2B＋ysin C＝c的位置关系是________．
解析：已知2lg(sin B)＝lg(sin A)＋lg(sin C)，可得sin2B＝sin Asin C，故＝.又＝，所以两直线重合．
答案：重合
7．已知两直线l1：x＋ysin θ－1＝0和l2：2xsin θ＋y＋1＝0，当l1⊥l2时，θ＝________．
解析：l1⊥l2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，
即sin θ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)，
∴当θ＝kπ(k∈Z)时，l1⊥l2.
答案：kπ(k∈Z)
8．设直线l经过点A(－1，1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________．
解析：设点B(2，－1)到直线l的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，
此时直线l垂直于直线AB，kl＝－＝，
∴直线l的方程为y－1＝(x＋1)，
即3x－2y＋5＝0.
答案：3x－2y＋5＝0
9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.
又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在．
∴k1＝k2，即＝1－A．
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝B．
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
10．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.
解：设点P的坐标为(a，b)．
∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在上述直线上，∴a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②
联立①②可得或.
∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
[力气提升]
1．直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5，1)，则l的方程是(　　)
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0
解析：选C．设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l的方程为x＋3y－8＝0.
2．在直角坐标系中，A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最终经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6
C．3 D．2
解析：选A．

如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4，2)，C(－2，0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝＝2，即为光线所经过的路程．
3．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，假如这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的全部取值为________．
解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的全部取值为0，1，2.
答案：0，1，2
4．若点(1，1)到直线xcos α＋ysin α＝2的距离为d，则d的最大值是________．
解析：依题意有d＝|cos α＋sin α－2|
＝|sin－2|，
于是当sin＝－1时，d取得最大值2＋.
答案：2＋
5．过点P(1，2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
由解得A；
由解得B.
∵|AB|＝，∴ ＝，
整理，得7k2－48k－7＝0，
解得k1＝7或k2＝－.
因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.
6．(选做题)A，B两个工厂距一条河分别为400 m和100 m，A，B两工厂之间距离500 m，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A，B两工厂用水，要使供水站到A，B两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？
解：如图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立直角坐标系，

则点A(0，400)，点B(a，100)．
过点B作BC⊥AO于点C．
在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝300，
由勾股定理得BC＝400，
∴B(400，100)．
点A(0，400)关于x轴的对称点A′(0，－400)，
由两点式得直线A′B的方程为y＝x－400.
令y＝0，得x＝320，即点P(320，0)．
故供水站(点P)在距O点320 m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短．