2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第六章第4课时.docx

[基础达标]
1．(2022·高考福建卷)下列不等式确定成立的是(　　)
A．lg(x2＋)>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．>1(x∈R)
解析：选C．取x＝，则lg＝lg x，故排解A；取x＝π，则sin x＝－1，故排解B；取x＝0，则＝1，故排解D．
2．(2022·河北教学质量检测)“≤－2”是“a>0且b<0”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．≤－2⇔＋2＝≤0⇔ab<0⇔或.
3．(2022·江南十校联考)已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B．由已知得ab＝1，m＋n＝a＋b＋＋＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，m＋n取得最小值4.
4．(2021·高考福建卷)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D．∵2x＋2y≥2，2x＋2y＝1，
∴2≤1，
∴2x＋y≤＝2－2，
∴x＋y≤－2，
即(x＋y)∈(－∞，－2]．
5．(2022·浙江十校联考)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)
A． B．
C．2 D．
解析：选C．由x>0，y>0知4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2.
6．若0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．
解析：y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)．
∵0<x<，∴5x<2，2－5x>0，
∴5x(2－5x)≤()2＝1，
∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，
即x＝时，ymax＝.
答案：
7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5　8
8．已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．
解析：由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，由于f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2＋1＝4，解得p＝.
答案：
9．设a、b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
证明：由于a、b均为正实数，
所以＋≥2＝，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立．
又由于＋ab≥2＝2，
当且仅当＝ab时等号成立，
所以＋＋ab≥＋ab≥2，
当且仅当
即a＝b＝时取等号．
10．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．
解：(1)y＝(2x－3)＋＋
＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
∴＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵0<x<2，
∴2－x>0，
∴y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
[力气提升]
1．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(　　)
A．0 B．4
C．－4 D．－2
解析：选C．由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.
2．(2022·浙江嘉兴调研)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为(　　)
A． B．4
C． D．
解析：选D．由于a>0，b>0，1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号．又由于a2＋4b2＋≥2a·(2b)＋＝4ab＋，令t＝ab，所以f(t)＝4t＋，由于f(t)在上单调递减，所以f(t)min＝f＝，此时a＝2b＝，故选D．
3．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a、b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．
解析：1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
∴＝1或＝－2(舍去)．
∴k＝1.
f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时等号成立．
答案：1　3
4．(原创题)设a≥b＞0，a＋b≤2，(a－b)2＝，则log(a－1)(b＋1)＝________．
解析：(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝＋4ab≥8，①
∴a＋b≥2.又a＋b≤2，∴a＋b＝2，②
由①中等号成立条件得ab＝1，③
联立②、③得a＝＋1，b＝－1，log(a－1)(b＋1)＝1.
答案：1
5．正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
解：(1)由1＝＋≥2，得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
6．(选做题)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某供应面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优待，问该厂是否考虑利用此优待条件？请说明理由．
解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，
由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝＋1 800×6
＝＋9x＋10 809
≥2＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)由于不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．
设该厂利用此优待条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，
则y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90
＝＋9x＋9 729(x≥35)．
令f(x)＝x＋(x≥35)，x2>x1≥35，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
∵x2>x1≥35，
∴x2－x1>0，x1x2>0，100－x1x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，
即f(x)＝x＋，当x≥35时为增函数，
∴当x＝35时，f(x)有最小值，此时y2<10 989.
∴该厂应接受此优待条件．