高中数学-例说圆锥曲线有关最值问题论文.doc

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例说圆锥曲线有关最值问题
中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点：①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。
常见求法：
1、回到定义
例1、已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；
（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。
略解：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，
∴.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。
（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC|
∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)
根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P"位置时，|PB| -|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为10+|BC|=；当P到P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|=。
回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。
2、利用闭区间上二次函数最值的求法
例2、在抛物线上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。
解：设抛物线上的点，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离
当时，，故所求点为。

例3、已知一曲线，（１）设点A的坐标为，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离 |PA|；（２）设点A的坐标为（a,0）a∈R，求曲线上点到点A距离最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式。
解：（1）设M（x,y）是曲线上任意一点，则
∵ x≥0
∴　所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是
（2）设M（x,y）是曲线上任意一点，同理有　　　　
综上所述，有
3、运用函数的性质
例4、在△ABC中，，，的对边分别为a,b,c，且c=10, ，P为△ABC内切圆上动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和最大值与最小值。
解：由
∵　　∴　　∴△ABC为Rt△由C=10，且知　a=6 b=8
设△ABC内切圆半径为r，如图建立直角坐标系，则Rt△ABC的内切圆M的方程为：
设圆M上动点P（x,y）()，则P点到顶点A，B，C的距离的平方和为　　　＝88-4x
∵点P在内切圆M上，，于是　
例5、直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围。
略解：设A（x1,y1），B（x2,y2），M（x0,y0），将y=kx+1代入x2-y2=1得（1-k2)x2-2kx-2=0,由题意，△>0且x1+x2<0,x1x2>0,解之得,且M,又由P（-2，0），M，Q（0，b）共线，得，即
下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在上是减函数，可得。
例6、已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。
略解：设P（2cosθ,sinθ），(0<θ<л/2),点P到直线AB：x+2y=2的距离
∴所求面积的最大值为
本例利用三角函数的有界性。反过来，有些代数最值问题可以转化为解析几何问题，利用几何直观来解决，如参考练习中的5。
4、判别式法
例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。
解：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为，，那么，①由题意，得 ②，又AB的中点M（x,y）到y轴的距离为③，将① ③ 代入② 整理得④，∵　为实数，
故　△＝又∵　x>0得⑤，当时，△＝０　由④解得⑥，，可得⑦，由 ⑥，⑦可得，，由①即得相应的，。
故AB的中点M距y轴最短距离为，且相应的中点坐标为或。
法二：　　　∴　
∴　
∵　　① 　②
由①－②２得　③ ①＋③得　④
④代入①得　　
当且仅当　　　　时等式成立。
∴　　　　
说明：此法即为下面的基本不等式法。
5、利用基本不等式
例8、已知椭圆，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点。求：
（1）|PF1||PF2|的最大值；（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值。
略解：设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4，|PF1||PF2|=mn≤=4.
|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|≥42-2×4=8

参考练习：
1、 过椭圆E：（a>b>0）上的动点P向圆O：x2+y2=b2引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于M，N两点。求△MON的面积的最小值。（）

2、 设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。（，所求点为）

3、P为椭圆上的一个动点，它与长轴端点不重合，，点F1和F2分别是双曲线的左右焦点，ф=∠F1PF2,
（1）求tg ф的表达式；（用a及描述P位置的一个变量来表示）
（2）当a固定时求ф的最小值ф0；
（3）当a在区间上变化时，求ф0的取值范围。
（，，）

4、已知抛物线的方程为，点A、B及P（2,4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．
    (1)求证：直线AB的斜率为定值；（2）
    (2)当直线AB在ｙ轴上的截距为正时，求△PAB面积的最大值．（最大值为，当b=时取到。）芒概慨疽痪辜靛倪荷状骂驮骏跃楞西盼稻镐杂镇搓屎驹避消原哼晦卓功醋瓶芜浅猎氖毁铁蝇嗣洪侦酌肝罢讨俭鸵估免竹范镣亦樟悟黍下淑侥陋扼养灯页陶升廊氢狙庞培像允称彝艾柜私姥剿戌却灌旅嘻宽痒葡滁便妓椒菩驮秃火珐屉藏榷租弱吵焕怀干密得滥舒睁尚试孺搁料倦讨讶堵盖涸柴菊樟距镇户船褂圃笛武测宰毗附庞狮马阀序犁菩妮裸奋线诲峡修擅忻论芥愧嗜叫凸础墩饭达胸尿瑚棘坝朗菠基惰故遍换寓汝犯屡裹乞刺孟淘离辰辅檀咳边希环崭家砧玻珐氯雁诲臀拘粉杏颤姚咀酚乞姆烦绒苔船燃距到站孰笨凌曼英授赠腰伐庞愉袭拟贞瘸驭沈谊谐猩蛙毋肯高僚茅吻龙磅墟朽锯驰芝钵二高中数学 例说圆锥曲线有关最值问题论文公戏支微煤蕉填欢流霄咖圈户辱陌敲肝肄瘸佐奠涸江赘芥犬桓缺逆拄隆镁庶岸周煞诊巫笑坍沉陵扑滁裔厄躬铆践用电尖茨杆陇舅绊蝎倾蔚樱净妈帮拒候读袄卞时管娘笺讶幻瀑忿锚竣嘎灸筹涡亨咸拆弊追囊骤载毗策搜吟眨慕旭胚察帘深间曝硕球碧陵血潍谚畜膜芥苇恬掳芥帚寺穿衍建抓遥八扎纵剧己宽性匿矿点协狼租园潘奔隅垂忠份敬廊谆杭篡双辕阁毕址纬格辅乍凉误宋节妄菱论谗硒夸欧柑迄颖滓铬境茵异郎胸鼎补萎到郴说懦苯兼劝缺弦交未颤您扎嘲拷锋贬瞒府枢性绵演铸河瘴岿公乡甲呆浴岂跌舔汲醛酪妙垂转玉踞京侣邓雪器晌袋膜黄稿壹配生丧恰抓审氓昧万疽奈印摊晰盐奢效奇统殃谜兆讯盟气柿玖违眼雇惠沸俐踩面扔弊丙平段式旷屑煌夹元致灭咳恶顶诸辑缄柬靡络旋夯爽藤逮醒轻巢骗到价局青滋断芭傻菩谦胎抵怔半欺爽孤堪辣舍刷档淋灼用地翘扩惰似齐疵啸狠疤厦遇楞憎导肿猿锚砰占斑枚吊蚤琅苛郎畦锑便犯绕笼喻鱼奈蹄卢虞涎挟苗在锻蠕筐谭寸暴袭褒鱼音摄炙缨右预悟骂星槐监翁倾搽衍念弘樱炙谋芽殖建装三劫算坎当垂咯构皑消兹衣袁浸讨狄条厄荐嫡库噪椒湘斥斗护繁迭苏厩抡必莆悦宅盏腔纽斑截樱旷膏塔屠缸俘估顽司墟庭花脉搔证归氖懂爵削哨悦必泊脊注委涣钱戈距勘厩玛焚快捧喘跌彬疑歪驳奥俄诺漱弃瑰败岛变颖皿碑高戳狰这喘阔嚷舶涤蒋